Okrąg ma środek, który spada na linię y = 7 / 2x +3 i przechodzi przez (1, 2) i (8, 1). Jakie jest równanie koła?

Odpowiedź:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Wyjaśnienie:

Punkt A #(1,2)# i punkt B #(8,1)# musi być taka sama odległość (jeden promień) od środka okręgu

To leży na linii punktów (L), które są wszystkie równo oddalone od A i B

wzór na obliczanie odległości (d) między dwoma punktami (z pythagorus) wynosi # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

zastąp w tym, co wiemy dla punktu A i dowolny punkt w L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

zastąp w tym, co wiemy dla punktu B i dowolny punkt na L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

W związku z tym

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Rozwiń nawiasy

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Uproszczać

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

punkt środkowy leży na linii #y = 7x - 30 # (zbiór punktów równych od A i B)

i na linii #y = 7x / 2 + 3 # (dany)

rozwiązać, gdzie te dwie linie krzyżują się, aby znaleźć środek okręgu

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

zastąpić w #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Środek koła znajduje się na #(66/7, 36)#

kwadratowy promień okręgu można teraz obliczyć jako

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

Ogólna formuła dla okręgu lub promienia # r # jest

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # z centrum w h, k

Teraz wiemy # h #, # k # i # r ^ 2 # i może je zastąpić ogólnym równaniem dla okręgu

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

rozwiń nawiasy

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

i upraszczaj

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #