Proszę, ktoś pomoże rozwiązać problem?

Odpowiedź:

Spróbuj zmienić # x = tan u #

Zobacz poniżej

Wyjaśnienie:

Wiemy to # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Przez proponowaną zmianę mamy

# dx = sec ^ 2u du #. Pozwala zastąpić całkę

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / s ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Tak więc, cofając zmianę:

# u = arctanx # i wreszcie mamy

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Odpowiedź:

#color (niebieski) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Wyjaśnienie:

Spróbujmy użyć podstawienia trygonometrycznego do rozwiązania tej całki. Aby to zrobić, skonstruujemy trójkąt prostokątny #Delta ABC # i oznakuj boki w taki sposób, aby za pomocą formuły Pitagorasa wyprowadzić wyrażenia, które obecnie widzimy w argumencie całki w następujący sposób:

Kąt # / _ B = theta # ma przeciwną stronę # x # i obok #1#. Używając formuły Pitagorasa:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # prowadzi do:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # jak pokazano.

Napiszmy teraz trzy najbardziej podstawowe funkcje trygonometryczne # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Teraz musimy użyć tych równań, aby rozwiązać różne części argumentu całkowego w terminach trygonometrycznych. Użyjmy # tantheta #:

# tantheta = x #

Weźmy pochodne obu stron:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Od # costheta # równanie, na które możemy rozwiązać #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Jeśli podniesiemy obie strony tego równania do mocy #3# dostajemy:

# sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Teraz możemy zastąpić to, co obliczyliśmy, problemem integralnym, aby przekształcić go w całkę trygonometryczną:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2theta theta) / s ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (czerwony) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (czerwony) (sec ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Teraz możemy go zastąpić # sintheta # i odwróć naszą odpowiedź z powrotem do wyrażenia algebraicznego w kategoriach # x #:

#color (niebieski) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #