Jaka jest suma pierwiastków równania 4 ^ x - 3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0?

Podane równanie

# 4 ^ x-3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0 #

# => (2 ^ 2) ^ x-3 (2 ^ x * 2 ^ 3) + 128 = 0 #

# => (2 ^ x) ^ 2-3 (2 ^ x * 8) + 128 = 0 #

Nabierający # 2 ^ x = y # równanie staje się

# => y ^ 2-24y + 128 = 0 #

# => y ^ 2-16y-8y + 128 = 0 #

# => y (y-16) -8 (y-16) = 0 #

# => (y-16) (y-8) = 0 #

Więc #y = 8 i y = 16 #

gdy # y = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 #

gdy # y = 16 => 2 ^ x = 2 ^ 4 => x = 4 #

Stąd są korzenie # 3 i 4 #

Więc suma korzeni jest #=3+4=7#

Odpowiedź:

#7#

Wyjaśnienie:

Jeśli #p (x) = (x-a) (x-b) = x ^ 2- (a + b) x + ab #

# x # współczynnik jest sumą pierwiastków.

W # (2 ^ x) ^ 2-24 cdot 2 ^ x + 128 # mamy to

#24# jest sumą # r_1 # i # r_2 # takie

# (2 ^ x-r_1) (2 ^ x-r_2) = 0 #

Mamy też # r_1r_2 = 2 ^ 7 = 2 ^ 3 2 ^ 4 # i

# r_1 + r_2 = 3 cdot 2 ^ 3 = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 #

następnie

# r_1 = 2 ^ 3-> x_1 = 3 # i

# r_2 = 2 ^ 4-> x_2 = 4 # więc

# x_1 + x_2 = 7 #