Jakie są możliwe racjonalne korzenie x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Odpowiedź:

Ten kwintyczny nie ma racjonalnych korzeni.

Wyjaśnienie:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Według racjonalnego twierdzenia pierwiastkowego wszelkie zera #f (x) # są wyraziste w formie # p / q # dla liczb całkowitych #p, q # z # p # dzielnik terminu stałego #-12# i # q # dzielnik współczynnika #1# wiodącego terminu.

Oznacza to, że jedyne możliwe racjonalny zera to:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Zauważ, że #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # ma wszystkie ujemne współczynniki. Stąd #f (x) # nie ma ujemnych zer.

Więc jedyne możliwe racjonalny zera to:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Ocena #f (x) # dla każdej z tych wartości nie znajdujemy żadnego zera. Więc #f (x) # nie ma racjonalny zera.

Podobnie jak w przypadku większości kwintycznych i wielomianów o wyższym stopniu, zera nie są wyrażalne w kategoriach # n #korzenie lub funkcje elementarne, w tym funkcje trygonometryczne.

Możesz użyć metod numerycznych, takich jak Durand-Kerner, aby znaleźć przybliżenia:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0,640414 + -0,877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0,716229 + -0,587964i #