Niech S będzie kwadratem powierzchni jednostkowej. Rozważ każdy czworokąt, który ma jeden wierzchołek po każdej stronie S. Jeśli a, b, cid oznaczają długość boków czworokąta, udowodnij, że 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Pozwolić # ABCD # być kwadratem powierzchni jednostkowej.

Więc # AB = BC = CD = DA = 1 # jednostka.

Pozwolić # PQRS # być czworokątem, który ma jeden wierzchołek po każdej stronie kwadratu. Tutaj pozwól # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = #

Stosując twierdzenie Pitagorasa możemy napisać

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = x ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Teraz mamy problem

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Stąd

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #