Czym są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Mamy:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Krok 2 - Zidentyfikuj punkty krytyczne

Punkt krytyczny występuje przy jednoczesnym rozwiązaniu

# f_x = f_y = 0 iff (częściowy f) / (częściowy x) = (częściowy f) / (częściowy y) = 0 #

tj. kiedy:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Rozwiązując jednocześnie A i B, uzyskujemy jedno rozwiązanie:

# x = y = 1 #

Możemy więc wyciągnąć wniosek, że istnieje jeden krytyczny punkt:

# (1,1) #

Krok 3 - Klasyfikuj punkty krytyczne

Aby sklasyfikować punkty krytyczne, wykonujemy test podobny do jednego rachunku różniczkowego, używając drugiej pochodnej cząstkowej i hesyjskiej macierzy.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((częściowy ^ 2 f) / (częściowy x ^ 2), (częściowy ^ 2 f) / (częściowy x częściowy y)), ((częściowy ^ 2 f) / (częściowy y częściowy x), (częściowy ^ 2 f) / (częściowe y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Następnie w zależności od wartości #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Jest maksimum, jeśli" f_ (xx) <0), (, "i minimum, jeśli" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "jest punkt siodłowy"), (Delta = 0, „Konieczna jest dalsza analiza”):} #

Przy użyciu niestandardowych makr Excel wartości funkcji wraz z częściowymi wartościami pochodnymi są obliczane w następujący sposób: