Mamy:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Krok 2 - Zidentyfikuj punkty krytyczne
Punkt krytyczny występuje przy jednoczesnym rozwiązaniu
# f_x = f_y = 0 iff (częściowy f) / (częściowy x) = (częściowy f) / (częściowy y) = 0 #
tj. kiedy:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # równocześnie
Z których możemy ustalić:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Dlatego wymagamy:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Następnie mamy dwa rozwiązania (nieskończenie płaskie):
#:. x = + - y #
I tak dochodzimy do wniosku, że na całej długości przecięcia krzywej i dwóch płaszczyzn istnieje nieskończenie wiele punktów krytycznych
Krok 3 - Klasyfikuj punkty krytyczne
Aby sklasyfikować punkty krytyczne, wykonujemy test podobny do jednego rachunku różniczkowego, używając drugiej pochodnej cząstkowej i hesyjskiej macierzy.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((częściowy ^ 2 f) / (częściowy x ^ 2), (częściowy ^ 2 f) / (częściowy x częściowy y)), ((częściowy ^ 2 f) / (częściowy y częściowy x), (częściowy ^ 2 f) / (częściowe y ^ 2)) | #
# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Następnie w zależności od wartości
# {: (Delta> 0, "Jest maksimum, jeśli" f_ (xx) <0), (, "i minimum, jeśli" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "jest punkt siodłowy"), (Delta = 0, „Konieczna jest dalsza analiza”):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Musimy wziąć pod uwagę znak
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Tak więc, w zależności od znaku
Oto wykres funkcji
A oto wykres funkcji obejmującej samoloty
