Pytanie # f8e6c

Odpowiedź:

Wyraź to jako serię geometryczną, aby znaleźć sumę #12500/3#.

Wyjaśnienie:

Wyraźmy to jako sumę:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1,12) ^ - k #

Od #1.12=112/100=28/25#, jest to równoznaczne z:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Korzystając z tego faktu # (a / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, mamy:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Możemy także wyciągnąć #500# poza znakiem sumowania, jak poniżej:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

W porządku, co teraz jest? Dobrze, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # to tak zwane seria geometryczna. Seria geometryczna obejmuje wykładnik, który jest dokładnie tym, co mamy tutaj. Niesamowitą rzeczą w serii geometrycznej, takiej jak ta, jest ich suma # r / (1-r) #, gdzie # r # to wspólny stosunek; tj. liczba podnoszona do wykładnika. W tym przypadku, # r # jest #25/28#, bo #25/28# jest tym, co podniesiono do wykładnika. (Dygresja: # r # musi być między #-1# i #1#, inaczej seria nie sumuje się do niczego.)

Dlatego suma tej serii to:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Właśnie to odkryliśmy #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, więc jedyne co pozostało to pomnożenie tego przez #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Możesz dowiedzieć się więcej o serii geometrycznej tutaj (zachęcam do obejrzenia całej serii Khan Academy w serii geometrycznej).