Udowodnij, że funkcja nie ma limitu w x_0 = 0? + Przykład

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie.

Wyjaśnienie:

Zgodnie z definicją Heine'a limitu funkcji mamy:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Aby pokazać, że funkcja ma NIE limit na # x_0 # musimy znaleźć dwie sekwencje # {x_n} # i # {bar (x) _n} # takie, to

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #

i

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) #

W podanym przykładzie takimi sekwencjami mogą być:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # i #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Obie sekwencje są zbieżne # x_0 = 0 #, ale zgodnie z formułą funkcji mamy:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

ponieważ wszystkie elementy w # x_n # są w #1,1/2,1/4,…#

i dla #bar (x) _n # mamy:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

ale dla wszystkich #n> = 2 # mamy: #f (bar (x) _n) = 1 #

Więc dla #n -> + oo # mamy:

#lim_ {n -> + oo} f (pasek (x) _n) = 1 # (**)

Obie sekwencje pokrywają się # x_0 = 0 #, ale ograniczenia (*) i (**) są NIE równy, więc limit #lim_ {x-> 0} f (x) # nie istnieje.

CO BYŁO DO OKAZANIA

Definicja limitu znajduje się w Wikipedii pod adresem:

Odpowiedź:

Oto dowód wykorzystujący negację definicji istnienia limitu.

Wyjaśnienie:

Krótka wersja

#f (x) # nie może podejść do jednego numeru # L # ponieważ w każdej okolicy #0#, funkcja #fa# przyjmuje wartości, które różnią się od siebie #1#.

Więc bez względu na to, co ktoś proponuje # L #, są punkty # x # Blisko #0#, gdzie #f (x) # jest przynajmniej #1/2# jednostka od # L #

Długa wersja

#lim_ (xrarr0) f (x) # istnieje, jeśli i tylko wtedy

jest liczba, # L # taki dla wszystkich #epsilon> 0 #, tam jest #delta> 0 # taki dla wszystkich # x #, # 0 <abs (x) <delta # sugeruje #abs (f (x) -L) <epsilon #

Negacją tego jest:

#lim_ (xrarr0) f (x) # nie istnieje, jeśli i tylko wtedy

za każdy numer, # L # tam jest #epsilon> 0 #, takie dla wszystkich #delta> 0 # tam jest # x #, takie # 0 <abs (x) <delta # i #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Podano numer # L #, Pozwolę #epsilon = 1/2 # (każdy mniejszy # epsilon # będzie również działać)

Teraz otrzymałem pozytywny wynik #delta#, Muszę pokazać, że istnieje # x # z # 0 <absx <delta # i #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (Odwołaj to #epsilon = 1/2 #)

Biorąc pod uwagę pozytywne #delta#, ostatecznie # 1/2 ^ n <delta # więc jest # x_1 # z #f (x_1) = 2 #.

Jest też element # x_2 w RR- {1, 1/2, 1/4,… } # z # 0 <x_2 <delta # i #f (x_2) = 1 #

Jeśli #L <= (1/2) #, następnie #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Jeśli #L> = (1/2) #, następnie #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #