Jakie są przykłady wykorzystania wykresów do rozwiązywania problemów ze słowami?

Oto prosty przykład problemu ze słowem, w którym pomaga wykres.

Od punktu #ZA# na drodze w czasie # t = 0 # jeden samochód rozpoczął ruch z prędkością # s = U # mierzona w niektórych jednostkach długości na jednostkę czasu (powiedzmy, metrów na sekundę).

Później, w czasie # t = T # (używając tych samych jednostek czasu co poprzednio, np. sekund) inny samochód zaczął jechać w tym samym kierunku wzdłuż tej samej drogi z prędkością # s = V # (mierzone w tych samych jednostkach, powiedzmy, metrach na sekundę).

O której godzinie drugi samochód łapie pierwszy, czyli oba będą w tej samej odległości od punktu #ZA#?

Rozwiązanie

Sensowne jest zdefiniowanie funkcji, która reprezentuje zależność odległości # y # objęte każdym samochodem od czasu # t #.

Pierwszy samochód wystartował # t = 0 # i poruszał się ze stałą prędkością # s = U #. Dlatego dla tego samochodu wygląda równanie liniowe wyrażające tę zależność #y (t) = U * t #.

Drugi samochód wystartował później # T # jednostki czasu. Tak więc dla pierwszego # T # jednostki nie pokrywały dystansu, więc #y (t) = 0 # dla #t <= T #. Potem zaczyna się poruszać z prędkością # V #, więc będzie to równanie ruchu #y (t) = V * (t-T) # dla #t> T #. W tym przypadku funkcja jest zdefiniowana przez dwa różne wzory na dwóch różnych segmentach argumentu # t # (czas).

Algebraicznie, rozwiązanie tego problemu można znaleźć rozwiązując równanie

# U * t = V * (t-T) #

to powoduje

# t = (V * T) / (V-U) #

Oczywiście, # V # powinien być większy niż # U # (w przeciwnym razie drugi samochód nigdy nie dogoni pierwszego).

Użyjmy konkretnych liczb:

# U = 1 #

# V = 3 #

# T = 2 #

Wtedy rozwiązaniem jest:

# t = (3 * 2) / (3-1) = 3 #

Jeśli nie jesteśmy tak dobrze zorientowani w algebrze i równaniach do skonstruowania powyższego równania, możemy wykorzystać wykresy tych dwóch funkcji do wizualizacji problemu.

Wykres funkcji #y (t) = 1 * t # wygląda tak:

wykres {x -1, 10, -1, 10}

Wykres funkcji #y (t) = 0 # Jeśli #t <= 2 # i #y (t) = 3 * (t-2) # Jeśli #t> 2 # wygląda tak:

graph1.5x +

Jeśli narysujemy oba wykresy w tej samej płaszczyźnie współrzędnych, punkt, w którym się przecinają (wygląda jak # t = 3 # gdy obie funkcje są równe #3#) byłby czas, w którym oba samochody są w tym samym miejscu. Odpowiada to naszemu rozwiązaniu algebraicznemu # t = 3 #.

W tym i wielu innych przypadkach wykres może nie zapewniać dokładnego rozwiązania, ale bardzo pomaga zrozumieć rzeczywistość problemu.

Ponadto graficzne przedstawienie problemu pomogłoby znaleźć precyzyjne podejście analityczne do dokładnego rozwiązania. W powyższym przykładzie ten proces przecinania dwóch wykresów daje silną wskazówkę do równania używanego do algebraicznego rozwiązania problemu.