Jest to problem związany ze stawkami powiązanymi (zmiany).
Szybkość wdmuchiwania powietrza będzie mierzona w objętości na jednostkę czasu. Jest to szybkość zmiany głośności w odniesieniu do czasu. Szybkość wdmuchiwania powietrza jest taka sama jak szybkość, z jaką objętość balonu wzrasta.
Wiemy
Rozróżniać
Podłącz to, co wiesz i rozwiąż, do tego, czego nie wiesz.
Powietrze jest wdmuchiwane z prędkością
Wysokość trójkąta rośnie z szybkością 1,5 cm / min, podczas gdy obszar trójkąta rośnie w tempie 5 cm / min. W jakim tempie zmienia się podstawa trójkąta, gdy wysokość wynosi 9 cm, a powierzchnia 81 cm?
Jest to problem związany ze stawkami (zmiany). Interesujące zmienne to a = wysokość A = powierzchnia, a ponieważ pole trójkąta wynosi A = 1 / 2ba, potrzebujemy b = podstawa. Podane szybkości zmian wyrażone są w jednostkach na minutę, więc (niewidzialna) zmienna niezależna to t = czas w minutach. Podajemy: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min I jesteśmy proszeni o znalezienie (db) / dt, gdy a = 9 cm i A = 81 cm „” ^ 2 A = 1 / 2ba, różnicując względem t, otrzymujemy: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Potrzebujemy reguły produktu po prawej stronie. (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a + 1 / 2b (da) /
Promień kulistego balonu wzrasta z szybkością 2 centymetrów na minutę. Jak szybko zmienia się głośność, gdy promień wynosi 14 centymetrów?
1568 * pi cc / minutę Jeśli promień wynosi r, to szybkość zmiany r względem czasu t, d / dt (r) = 2 cm / minutę Objętość jako funkcja promienia r dla obiektu sferycznego to V ( r) = 4/3 * pi * r ^ 3 Musimy znaleźć d / dt (V) przy r = 14 cm Teraz, d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) Ale d / dt (r) = 2 cm / minutę. Zatem d / dt (V) przy r = 14 cm wynosi: 4pi * 14 ^ 2 * 2 cm sześciennych / minutę = 1568 * pi cc / minutę
Woda wycieka z odwróconego zbiornika stożkowego z szybkością 10 000 cm3 / min w tym samym czasie woda jest pompowana do zbiornika ze stałą szybkością Jeśli zbiornik ma wysokość 6 m, a średnica na górze wynosi 4 mi jeśli poziom wody wzrasta z prędkością 20 cm / min, gdy wysokość wody wynosi 2 m, jak znaleźć tempo, w jakim woda jest pompowana do zbiornika?
Niech V będzie objętością wody w zbiorniku, w cm ^ 3; niech h będzie głębokością / wysokością wody w cm; i niech r będzie promieniem powierzchni wody (na górze), w cm. Ponieważ zbiornik jest stożkiem odwróconym, tak i masa wody. Ponieważ zbiornik ma wysokość 6 mi promień na górze 2 m, podobne trójkąty oznaczają, że frak {h} {r} = frak {6} {2} = 3, tak że h = 3r. Objętość odwróconego stożka wody wynosi wtedy V = frak {1} {3} p r ^ {2} h = p r ^ {3}. Teraz rozróżnij obie strony w odniesieniu do czasu t (w minutach), aby uzyskać frac {dV} {dt} = 3 p r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (w tym przypadku uż