Promień kulistego balonu wzrasta z szybkością 2 centymetrów na minutę. Jak szybko zmienia się głośność, gdy promień wynosi 14 centymetrów?

Odpowiedź:

# 1568 * pi # cc / minutę

Wyjaśnienie:

Jeśli promień wynosi r, to szybkość zmiany r względem czasu t, # d / dt (r) = 2 # cm / minutę

Objętość jako funkcja promienia r dla obiektu sferycznego wynosi

#V (r) = 4/3 * pi * r ^ 3 #

Musimy znaleźć # d / dt (V) # przy r = 14 cm

Teraz, # d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) #

Ale # d / dt (r) # = 2 cm / minutę. A zatem, # d / dt (V) # przy r = 14 cm to:

# 4pi * 14 ^ 2 * 2 # cm sześciennych / minutę # = 1568 * pi # cc / minutę

Promień kulistego balonu wzrasta o 5 cm / s. W jakim tempie powietrze jest wdmuchiwane do balonu w momencie, gdy promień wynosi 13 cm?

Jest to problem związany ze stawkami pokrewnymi (zmiany). Szybkość wdmuchiwania powietrza będzie mierzona w objętości na jednostkę czasu. Jest to szybkość zmiany głośności w odniesieniu do czasu. Szybkość wdmuchiwania powietrza jest taka sama jak szybkość, z jaką objętość balonu wzrasta. V = 4/3 pi r ^ 3 Wiemy (dr) / (dt) = 5 "cm / s". Chcemy (dV) / (dt), gdy r = 13 "cm". Różnicowanie V = 4/3 pi r ^ 3 domyślnie w odniesieniu do td / (dt) (V) = d / (dt) (4/3 pi r ^ 3) (dV) / (dt) = 4/3 pi * 3r ^ 2 (dr) / (dt) = 4 pi r ^ 2 (dr) / (dt) Podłącz to, co znasz i rozwiąż to, czego nie wiesz. (dV) / (dt) =

Woda wycieka na podłogę tworzy okrągły basen. Promień basenu wzrasta z szybkością 4 cm / min. Jak szybko rośnie obszar basenu, gdy promień wynosi 5 cm?

40pi „cm” ^ 2 ”/ min” Najpierw powinniśmy zacząć od znanego równania dotyczącego okręgu, puli i jego promienia: A = pir ^ 2 Jednak chcemy zobaczyć, jak szybko obszar Pula rośnie, co brzmi jak tempo ... co brzmi jak pochodna. Jeśli weźmiemy pochodną A = pir ^ 2 w odniesieniu do czasu, t, widzimy, że: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (nie zapomnij, że reguła łańcucha obowiązuje po prawej stronie) strona dłoni, z r ^ 2 - jest to podobne do ukrytego różnicowania.) Więc chcemy określić (dA) / dt. Pytanie mówiło nam, że (dr) / dt = 4, kiedy powiedział, że „promień puli wzrasta z szybkością 4 cm / min”, a także wiem

Olej wyciekający z pękniętego tankowca rozprzestrzenia się w kręgu na powierzchni oceanu. Powierzchnia wycieku wzrasta z szybkością 9π m² / min. Jak szybko rośnie promień wycieku, gdy promień wynosi 10 m?

Dr | _ (r = 10) = 0,45 m // min. Ponieważ obszar okręgu jest A = pi r ^ 2, możemy wziąć różnicę po każdej stronie, aby uzyskać: dA = 2pirdr Stąd promień zmienia się w tempie dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir ) Zatem dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45 m // min.