Trójkąt A ma powierzchnię 4 i dwie strony długości 8 i 4. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok o długości 13. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?

Trójkąt A ma powierzchnię 4 i dwie strony długości 8 i 4. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok o długości 13. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?
Anonim

Odpowiedź:

# „Max” = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37,488 #

# "Min" = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 #

Wyjaśnienie:

Niech wierzchołki trójkąta #ZA# być oznakowanym # P #, # P #, # R #, z #PQ = 8 # i #QR = 4 #.

Używając Formuły Herona,

# "Obszar" = sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #, gdzie

#S = {PQ + QR + PR} / 2 # jest półobwód,

mamy

#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2 #

A zatem,

#sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #

# = sqrt {({12 + PQ} / 2) ({12 + PQ} / 2-8) ({12 + PQ} / 2-4) ({12 + PQ} / 2-PQ)} #

# = sqrt {(12 + PQ) (PQ - 4) (4 + PQ) (12 - PQ)} / 4 #

# = "Obszar" = 4 #

Rozwiąż dla #DO#.

#sqrt {(144 - PQ ^ 2) (PQ ^ 2 - 16)} = 16 #

# (PQ ^ 2 - 144) (PQ ^ 2 - 16) = -256 #

# PQ ^ 4 - 160 PQ ^ 2 + 2304 = -256 #

# (PQ ^ 2) ^ 2 - 160 PQ ^ 2 + 2560 = 0 #

Ukończ kwadrat.

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 + 2560 = 80 ^ 2 #

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 = 3840 #

# PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15 # lub # PQ ^ 2 = 80 -16sqrt15 #

#PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11,915 # lub

#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246 #

Pokazuje to, że istnieją dwa możliwe rodzaje trójkąta, które spełniają podane warunki.

W przypadku obszaru maksymalnego dla trójkąta, chcemy, aby strona o długości 13 była podobna do boku PQ dla trójkąta z #PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246 #.

Dlatego współczynnik skali liniowej wynosi

# 13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ~~ 3.061 #

Obszar jest zatem powiększany do współczynnika, który jest kwadratem współczynnika skali liniowej. Dlatego trójkąt maksymalnego obszaru B może być

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37,488 #

Podobnie, w przypadku obszaru min dla trójkąta, chcemy, aby bok o długości 13 był podobny do boku PQ dla trójkąta z #PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11,915 #.

Dlatego współczynnik skali liniowej wynosi

# 13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ~~ 1.091 #

Obszar jest zatem powiększany do współczynnika, który jest kwadratem współczynnika skali liniowej. Dlatego trójkąt obszaru B może mieć wartość

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4,762 #