Odpowiedź:
Wyjaśnienie:
Niech wierzchołki trójkąta
Używając Formuły Herona,
# "Obszar" = sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} # , gdzie
#S = {PQ + QR + PR} / 2 # jest półobwód,
mamy
#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2 #
A zatem,
#sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #
# = sqrt {({12 + PQ} / 2) ({12 + PQ} / 2-8) ({12 + PQ} / 2-4) ({12 + PQ} / 2-PQ)} #
# = sqrt {(12 + PQ) (PQ - 4) (4 + PQ) (12 - PQ)} / 4 #
# = "Obszar" = 4 #
Rozwiąż dla
#sqrt {(144 - PQ ^ 2) (PQ ^ 2 - 16)} = 16 #
# (PQ ^ 2 - 144) (PQ ^ 2 - 16) = -256 #
# PQ ^ 4 - 160 PQ ^ 2 + 2304 = -256 #
# (PQ ^ 2) ^ 2 - 160 PQ ^ 2 + 2560 = 0 #
Ukończ kwadrat.
# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 + 2560 = 80 ^ 2 #
# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 = 3840 #
# PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15 # lub# PQ ^ 2 = 80 -16sqrt15 #
#PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11,915 # lub
#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246 #
Pokazuje to, że istnieją dwa możliwe rodzaje trójkąta, które spełniają podane warunki.
W przypadku obszaru maksymalnego dla trójkąta, chcemy, aby strona o długości 13 była podobna do boku PQ dla trójkąta z
Dlatego współczynnik skali liniowej wynosi
# 13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ~~ 3.061 #
Obszar jest zatem powiększany do współczynnika, który jest kwadratem współczynnika skali liniowej. Dlatego trójkąt maksymalnego obszaru B może być
# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37,488 #
Podobnie, w przypadku obszaru min dla trójkąta, chcemy, aby bok o długości 13 był podobny do boku PQ dla trójkąta z
Dlatego współczynnik skali liniowej wynosi
# 13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ~~ 1.091 #
Obszar jest zatem powiększany do współczynnika, który jest kwadratem współczynnika skali liniowej. Dlatego trójkąt obszaru B może mieć wartość
# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4,762 #
Trójkąt A ma powierzchnię 12 i dwie strony długości 3 i 8. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok długości 9. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?
Maksymalny możliwy obszar trójkąta B = 108 Minimalny możliwy obszar trójkąta B = 15,1875 Delta s A i B są podobne. Aby uzyskać maksymalną powierzchnię Delty B, strona 9 Delty B powinna odpowiadać stronie 3 Delty A. Boki są w proporcji 9: 3 Stąd obszary będą w stosunku 9 ^ 2: 3 ^ 2 = 81: 9 Maksymalny obszar trójkąta B = (12 * 81) / 9 = 108 Podobnie jak w przypadku minimalnej powierzchni, strona 8 Delty A będzie odpowiadać stronie 9 Delty B. Boki mają proporcje 9: 8 i obszary 81: 64 Minimalna powierzchnia Delta B = (12 * 81) / 64 = 15,1875
Trójkąt A ma powierzchnię 12 i dwie strony długości 3 i 8. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok o długości 15. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?
Maksymalny możliwy obszar trójkąta B wynosi 300 jednostek kwadratowych Minimalny możliwy obszar trójkąta B wynosi 36,99 Jednostka kwadratowa Powierzchnia trójkąta A to a_A = 12 Kąt zawarty między bokami x = 8, a z = 3 to (x * z * sin Y) / 2 = a_A lub (8 * 3 * sin Y) / 2 = 12:. sin Y = 1:. / _Y = sin ^ -1 (1) = 90 ^ 0 Dlatego kąt zawarty między bokami x = 8 i z = 3 wynosi 90 ^ 0 Strona y = sqrt (8 ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt 73. Dla maksimum obszar w trójkącie B Strona z_1 = 15 odpowiada najniższej stronie z = 3 Następnie x_1 = 15/3 * 8 = 40 i y_1 = 15/3 * sqrt 73 = 5 sqrt 73 Maksymalny możliwy obszar będzie (x_
Trójkąt A ma powierzchnię 12 i dwie strony długości 4 i 8. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok długości 7. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?
A_ "Bmin" ~~ 4.8 A_ "Bmax" = 36,75 Najpierw musisz znaleźć długości boków dla trójkąta A o maksymalnym rozmiarze, gdy najdłuższy bok jest większy niż 4 i 8, a trójkąt o minimalnej wielkości, gdy 8 jest najdłuższym bokiem. Aby to zrobić, użyj wzoru Heron's Area: s = (a + b + c) / 2 gdzie a, b, c są długościami boku trójkąta: A = sqrt (s (sa) (sb) (sc)) Let a = 8, b = 4 "i" c "to nieznane długości boków" s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 +