Jak udowodnić (cotx + cscx / sinx + tanx) = (cotx) (cscx)?

Odpowiedź:

Zweryfikowano poniżej

Wyjaśnienie:

# (cotx + cscx) / (sinx + tanx) = (cotx) (cscx) #

# (cosx / sinx + 1 / sinx) / (sinx + sinx / cosx) = (cotx) (cscx) #

# ((cosx + 1) / sinx) / ((sinxcosx) / cosx + sinx / cosx) = (cotx) (cscx) #

# ((cosx + 1) / sinx) / ((sinx (cosx + 1)) / cosx) = (cotx) (cscx) #

# (anuluj (cosx + 1) / sinx) * (cosx / (sinxcancel ((cosx + 1)))) = (cotx) (cscx) #

# (cosx / sinx * 1 / sinx) = (cotx) (cscx) #

# (cotx) (cscx) = (cotx) (cscx) #

Próbujemy to udowodnić # (cotx + cscx) / (sinx + tanx) = cotxcscx #. Oto tożsamości, których potrzebujesz:

# tanx = sinx / cosx #

# cotx = cosx / sinx #

# cscx = 1 / sinx #

Zacznę od lewej strony i manipuluję nią, aż będzie równa prawej stronie:

#color (biały) = (cotx + cscx) / (sinx + tanx) #

# = (qquadcosx / sinx + 1 / sinxqquad) / (qquadsinx / 1 + sinx / cosxqquad) #

# = (qquad (cosx + 1) / sinxqquad) / (qquad (sinxcosx) / cosx + sinx / cosxqquad) #

# = (qquad (cosx + 1) / sinxqquad) / (qquad (sinxcosx + sinx) / cosxqquad) #

# = (cosx + 1) / sinx * cosx / (sinxcosx + sinx) #

# = (cosx + 1) / sinx * cosx / (sinx (cosx + 1)) #

# = (cosx (cosx + 1)) / (sin ^ 2x (cosx + 1)) #

# = (cosxcolor (czerwony) cancelcolor (czarny) ((cosx + 1))) / (sin ^ 2xcolor (czerwony) cancelcolor (czarny) ((cosx + 1))) #

# = cosx / sin ^ 2x #

# = cosx / sinx * 1 / sinx #

# = cotx * cscx #

# = RHS #

To dowód. Mam nadzieję, że to pomogło!

# LHS = (cotx + cscx) / (sinx + tanx) #

# = (cotx + cscx) / (sinx + tanx) * ((cotx * cscx) / (cotx * cscx)) #

# = cotx * cscx (cotx + cscx) / ((sinx + tanx) * cotx * cscx) #

# = cotx * cscx (cotx + cscx) / ((sinx * cscx * cotx + tanx * cotx * cscx)) #

# = cotx * cscxcancel ((cotx + cscx) / (cotx + cscx)) = cotx * cscx = RHS #

Sprawdź secx • cscx + cotx = tanx + 2cosx • cscx?

RHS = tanx + 2cosx * cscx = sinx / cosx + (2cosx) / sinx = (sin ^ 2x + 2cos ^ 2x) / (sinx * cosx) = (sin ^ 2x + cos ^ 2x + cos ^ 2x) / (sinx * cosx) = (1 + cos ^ 2x) / (sinx * cosx) = 1 / (sinx * cosx) + (cos ^ 2x) / (sinx * cosx) = cscx * secx + cotx = LHS

Jak sprawdzić (1 + tanx) / (sinx) = cscx + secx?

Użyj następujących reguł: tanx = sinx / cosx 1 / sinx = cscx 1 / cosx = secx Rozpocznij od lewej strony ("LHS"): => "LHS" = (1 + tanx) / sinx = 1 / sinx + tanx / sinx = cscx + tanx xx1 / sinx = cscx + anuluj (sinx) / cosx xx1 / anuluj (sinx) = cscx + 1 / cosx = kolor (niebieski) (cscx + secx) QED

Jak mogę udowodnić tę tożsamość? (cosxcotx-tanx) / cscx = cosx / secx-sinx / cotx

Tożsamość powinna być prawdziwa dla dowolnej liczby x, która unika podziału przez zero. (cosxcotx-tanx) / cscx = {cos x (cos x / sin x) - sin x / cos x} / (1 / sin x) = cos ^ 2x - sin ^ 2 x / cos x = cos x / (1 / cos x) - sin x / (cos x / sin x) = cosx / secx-sinx / cotx