Rozwiązywanie tego problemu za pomocą całki riemanna?

Odpowiedź:

frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # lub # 1.302054638 … #

Wyjaśnienie:

Najważniejszą tożsamością numer jeden w rozwiązywaniu wszelkiego rodzaju problemów z nieskończonym produktem jest przekształcenie go w problem nieskończonych sum:

# pr_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

NACISK:

# = exp suma {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ale zanim to zrobimy, musimy najpierw poradzić sobie z # frac {1} {n ^ 2} w równaniu i btw nazwijmy nieskończony produkt L:

# L = lim_ {n + infty} frac {1} {n ^ 2} rod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim_ {n + infty} frac {1} {n ^ 2} rod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim_ {n + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod {{k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} = lim_ {n + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

Teraz możemy przekształcić to w nieskończoną sumę:

# L = lim_ {n + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) {{frac {1} {n} } = lim_ {n do + infty} exp suma {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) {{frac {1} {n}}) #

zastosuj właściwości logarytmu:

# L = lim_ {n + infty} exp suma {k = 1} ^ {n} frak {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

I używając właściwości limitu:

# L = exp lim_ {n + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frak {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Nazwijmy nieskończoną sumę S:

# S = lim_ {n + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frak {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

I pamiętaj o tym

# L = exp (S) #

Rozwiążmy teraz swoje pytanie, konwertując je z a RIEMANN SUM do a OKREŚLONA CAŁKA:

Przypomnijmy sobie definicję sumy Riemanna:

NACISK:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n do + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Pozwolić

# lim_ {n na + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frak {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Teraz pozwól # f (x) = ln (1 + x ^ 2) i a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Tak więc, b = 1 tj.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

W związku z tym,

# S = lim_ {n + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frak {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Rozwiąż dla # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

użyj integracji według części:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Pozwolić # u = ln (1 + x ^ 2) i v = 1 #

Następnie użyj reguły łańcuchowej i pochodnej logarytmu naturalnego, aby uzyskać # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frak {2x} {1 + x ^ 2} #

i użyj reguły mocy, aby uzyskać: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Użyj reguły odejmowania:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Użyj reguły mocy dla pierwszej całki, a druga całka to standardowa funkcja trygonometryczna # arctan (x) # (odwrotność funkcji stycznej)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

A zatem, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Teraz rozwiąż dla całki oznaczonej:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

wiemy, że anty-pochodną jest # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Więc

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

zauważ, że arctan (1) ma 45 ° lub # {}} {4} # (przypomnij sobie specjalny trójkąt prawy o długości boku 1,1, # {2} # i kąty 45 °, 45 °, 90 °) i również # arctan (0) = 0 #

A zatem #S = ln (2) - 2 + 2 (frac {pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac {pi} {2} #

lub # 0,263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac {pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ {frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frak {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Dlatego rozwiązaniem jest # l_ {n do + infty} frac {1} {n ^ 2} rod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # lub # 1.302054638 … #