Czym jest pochodna y = (sinx) ^ x?

Odpowiedź:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Wyjaśnienie:

Użyj różnicowania logarytmicznego.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Użyj właściwości # ln #)

Różnicuj w sposób niejawny: (Użyj reguły produktu i ruel łańcucha)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Więc mamy:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Rozwiąż dla # dy / dx # przez pomnożenie przez #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Odpowiedź:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Wyjaśnienie:

Najłatwiej to zobaczyć, używając:

# (sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xln (sinx)) #

Biorąc pochodną tego daje:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# = (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Teraz musimy zauważyć, że jeśli # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # jest niezdefiniowane.

Jednak gdy analizujemy zachowanie funkcji wokół # x #dla których to się utrzymuje, stwierdzamy, że funkcja zachowuje się wystarczająco dobrze, aby działała, ponieważ:

# (sinx) ^ x # zbliża się do 0

następnie:

#ln ((sinx) ^ x) # podejdzie # -oo #

więc:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # zbliży się również do 0

Ponadto zauważamy, że jeśli #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # będzie liczbą złożoną; jednak wszystkie algebry i rachunki, które wykorzystaliśmy również na płaszczyźnie zespolonej, nie stanowi to problemu.

Odpowiedź:

Bardziej ogólnie…

Wyjaśnienie:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #