Jak rozwiązać 3sin2x + 2cos2x = 3? Czy jest możliwe przekonwertowanie go na sinx = k?

Odpowiedź:

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # lub #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

lub jeśli wolisz przybliżenie, # x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # lub #x około 11,31 ^ circ + 180 ^ circ k #

oczywiście dla liczby całkowitej # k #.

Wyjaśnienie:

Pro wskazówka: lepiej zamienić je w formę #cos x = cos a # który ma rozwiązania #x = pm a + 360 ^ circ k quad # dla liczby całkowitej # k #.

Ten już jest # 2x # więc łatwiej jest tak to zostawić.

Liniowe kombinacje sinusów i cosinusów tego samego kąta są cosinusami przesuniętymi w fazie.

# 3 grzech (2x) + 2 cos (2x) = 3 #

# sqrt {13} (2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x)) = 3 #

# 2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x) = 3 / sqrt {13} #

Pozwólmy # theta = arctan (3/2) około 56.31 ^ circ #

Naprawdę mamy na myśli ten w pierwszym kwadrancie.

(Gdybyśmy chcieli zrobić sinus zamiast cosinusa, jak robimy, użylibyśmy #arctan (2/3) #.)

Mamy #cos theta = 2 / sqrt {13} # i #sin theta = 3 / sqrt {13}. #

# cos theta cos (2x) + sin theta sin (2x) = sin theta #

# cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ - theta) #

# 2x - theta = pm (90 ^ circ - theta) + 360 ^ circ k #

# 2x = theta pm (90 ^ circ - theta) + 360 ^ circ k #

# x = theta / 2 pm (45 ^ circ - theta / 2) + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # lub #x = theta - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # lub #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

Od #56.31-45 = 11.31#

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # lub #x około 11,31 ^ circ + 180 ^ circ k #