Więcej na temat mechaniki?

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Będziemy używać tak zwanej formuły Eulera Lagrange'a

# d / dt ((partialL) / (częściowa kropka q_i)) - (częściowy L) / (częściowy q_i) = Q_i #

gdzie #L = T-V #. W tym ćwiczeniu mamy # V = 0 # więc #L = T #

Powołanie # x_a # środek lewej współrzędnej cylindra i # x_b # tak naprawdę mamy

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

Tutaj # sinalpha = R / Lsintheta # tak zastępujące #alfa#

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sin ^ 2theta #

teraz pochodzi

#dot x_b = kropka x_a + Rsin (theta) kropka theta - ((R ^ 2cos (theta) sin (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta))) kropka theta #

ale

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

Tutaj #JOT# jest momentem bezwładności dotyczącym środka masy. Również,

# v_a = kropka x_a = R kropka theta #

#omega_a = kropka theta #

więc po zmianach i powołaniu #xi (theta) = 1- (Rcos (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) # mamy

# T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) dot theta ^ 2 #

Wybraliśmy # theta # jako uogólniona współrzędna. Więc zmniejszymy #FA# uruchamianie współrzędnych # x # do równoważnej siły w # theta #. Ta współrzędna działa w sposób zwinięty, więc potrzebujemy ogólnego pędu dotyczącego punktu kontaktu w podłodze, który jest

#Q_ (theta) = FR (1+ sintheta) #

Równania ruchu uzyskuje się po

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dot theta ^ 2 + (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) ddot theta) = FR (1 + sin (theta)) # teraz rozwiązuje #ddot theta #

# ddottheta = (FR (1 + sin (theta)) - (J + mR ^ 2) (1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi ”(theta)) dottheta ^ 2) / ((J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2)) #

Dołączono dwie działki. Pierwsze pokazy # theta # ewolucja, a druga jest # dottheta #

Wartość parametrów:

# R = 0,5, J = 1, m = 1, L = 2 # Zastosowana siła jest pokazana na czerwono.