Co to jest całka int tan ^ 5 (x)? - Rachunek Różniczkowy 2025

Odpowiedź:

#int tan ^ (5) (x) dx = 1/4 s ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Wyjaśnienie:

#int tan ^ (5) (x) dx #

Znając to # tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1 #, możemy go przepisać jako

#int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx #, która daje

#int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx #

Pierwsza całka:

Pozwolić # u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

Druga całka:

Pozwolić #u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

W związku z tym

#int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx #

Zwróć również uwagę na to #int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C #, dając nam to

# 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C #

Zastępowanie # u # wracając do wyrażenia daje nam nasz końcowy wynik

# 1 / 4s ^ (4) (x) - anuluj (2) * (1 / anuluj (2)) sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

A zatem

#int tan ^ (5) (x) dx = 1/4 s ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Co to jest całka int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Naszym dużym problemem w tej całce jest root, więc chcemy się go pozbyć. Możemy to zrobić, wprowadzając substytucję u = sqrt (2x-1). Pochodna jest wtedy (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Więc dzielimy przez (i pamiętajmy, że dzielenie przez odwrotność jest takie samo jak mnożenie tylko przez mianownik), aby zintegrować w odniesieniu do u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / anuluj (sqrt (2x-1)) anuluj (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Teraz wszystko, co musimy zrobić, to wyrazić x ^ 2 w kategoriach u (ponieważ nie można z

Co to jest całka int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Najpierw podstawiamy: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Wykonaj drugie podstawienie: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Podział za pomocą ułamków częściowych: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Tera

W jaki sposób można ustalić, czy niewłaściwa całka jest zbieżna lub rozbieżna int 1 / [sqrt x] od 0 do nieskończoności?

Całka się rozbiega. Możemy użyć testu porównawczego dla całek niewłaściwych, ale w tym przypadku całka jest tak prosta do oceny, że możemy ją po prostu obliczyć i sprawdzić, czy wartość jest ograniczona. int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = [2sqrtx] _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) ( 2sqrtx) = oo Oznacza to, że całka rozbiega się.