Co to jest całka int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Odpowiedź:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Wyjaśnienie:

Naszym wielkim problemem w tej całce jest root, więc chcemy się go pozbyć. Możemy to zrobić, wprowadzając substytucję # u = sqrt (2x-1) #. Pochodna jest wtedy

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Dzielimy się więc (i pamiętajmy, że dzielenie przez odwrotność jest tym samym, co mnożenie tylko przez mianownik), aby zintegrować się w odniesieniu do # u #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / anuluj (sqrt (2x-1)) anuluj (sqrt (2x-1)) = int x ^ 2-1

Teraz wszystko, co musimy zrobić, to wyrazić # x ^ 2 # pod względem # u # (ponieważ nie możesz się zintegrować # x # z szacunkiem do # u #):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Możemy podłączyć to z powrotem do naszej integralnej części, aby uzyskać:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1

Można to ocenić za pomocą reguły odwrotnej mocy:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Ponowne wprowadzenie dla # u = sqrt (2x-1) #, dostajemy:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #