Jak znaleźć pierwotną wartość dx / (cos (x) - 1)?

Jak znaleźć pierwotną wartość dx / (cos (x) - 1)?
Anonim

Odpowiedź:

Zrób kilka mnożników, zastosuj trochę trig i zakończ, aby uzyskać wynik int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C

Wyjaśnienie:

Podobnie jak w przypadku większości problemów tego typu, rozwiążemy go za pomocą sztuczki mnożenia sprzężonego. Gdy masz coś podzielonego przez coś plus / minus coś (jak w 1 / (cosx-1) ), zawsze pomocne jest wypróbowanie mnożenia mnożnikowego, szczególnie w przypadku funkcji wyzwalających.

Zaczniemy od pomnożenia 1 / (cosx-1) przez koniugat cosx-1 , który jest cosx + 1 :

1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1)

Możesz się zastanawiać, dlaczego to robimy. Jest tak, że możemy zastosować właściwość różnicy kwadratów, (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 w mianowniku, aby trochę to uprościć. Powrót do problemu:

1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1))

(underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1))

color (biały) (III) acolor (biały) (XXX) bcolor (biały) (XXX) acolor (biały) (XXX) b

Zwróć uwagę, jak to jest zasadniczo (a-b) (a + b) .

= (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1)

A teraz cos ^ 2x-1 ? Cóż, wiemy sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x . Pomnóżmy to przez -1 i zobacz co otrzymujemy:

-1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x

= cos ^ 2-1

Okazało się, że -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 , więc zastąpmy cos ^ 2x-1 :

(cosx + 1) / (- sin ^ 2x

To jest równoważne cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x , który, używając jakiegoś trig, sprowadza się do -cotxcscx-csc ^ 2x .

W tym momencie uprościliśmy integrację int1 / (cosx-1) dx do int-cotxcscx-csc ^ 2xdx . Używając reguły sum, staje się to:

int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx

Pierwszy z nich to cscx (ponieważ pochodna cscx jest -cotxcscx ), a drugi to cotx (ponieważ pochodna cotx jest -csc ^ 2x ). Dodaj stałą integracji DO a masz swoje rozwiązanie:

int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C