Jak znaleźć pierwotną wartość dx / (cos (x) - 1)?

Odpowiedź:

Zrób kilka mnożników, zastosuj trochę trig i zakończ, aby uzyskać wynik # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Wyjaśnienie:

Podobnie jak w przypadku większości problemów tego typu, rozwiążemy go za pomocą sztuczki mnożenia sprzężonego. Gdy masz coś podzielonego przez coś plus / minus coś (jak w # 1 / (cosx-1) #), zawsze pomocne jest wypróbowanie mnożenia mnożnikowego, szczególnie w przypadku funkcji wyzwalających.

Zaczniemy od pomnożenia # 1 / (cosx-1) # przez koniugat # cosx-1 #, który jest # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Możesz się zastanawiać, dlaczego to robimy. Jest tak, że możemy zastosować właściwość różnicy kwadratów, # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #w mianowniku, aby trochę to uprościć. Powrót do problemu:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (biały) (III) acolor (biały) (XXX) bcolor (biały) (XXX) acolor (biały) (XXX) b #

Zwróć uwagę, jak to jest zasadniczo # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

A teraz # cos ^ 2x-1 #? Cóż, wiemy # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Pomnóżmy to przez #-1# i zobacz co otrzymujemy:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

Okazało się, że # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, więc zastąpmy # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

To jest równoważne # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, który, używając jakiegoś trig, sprowadza się do # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

W tym momencie uprościliśmy integrację # int1 / (cosx-1) dx # do # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Używając reguły sum, staje się to:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

Pierwszy z nich to # cscx # (ponieważ pochodna # cscx # jest # -cotxcscx #), a drugi to # cotx # (ponieważ pochodna # cotx # jest # -csc ^ 2x #). Dodaj stałą integracji #DO# a masz swoje rozwiązanie:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #