Jak znaleźć pierwotną wartość dx / (cos (x) - 1)?

Odpowiedź:

Zrób kilka mnożników, zastosuj trochę trig i zakończ, aby uzyskać wynik # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Wyjaśnienie:

Podobnie jak w przypadku większości problemów tego typu, rozwiążemy go za pomocą sztuczki mnożenia sprzężonego. Gdy masz coś podzielonego przez coś plus / minus coś (jak w # 1 / (cosx-1) #), zawsze pomocne jest wypróbowanie mnożenia mnożnikowego, szczególnie w przypadku funkcji wyzwalających.

Zaczniemy od pomnożenia # 1 / (cosx-1) # przez koniugat # cosx-1 #, który jest # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Możesz się zastanawiać, dlaczego to robimy. Jest tak, że możemy zastosować właściwość różnicy kwadratów, # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #w mianowniku, aby trochę to uprościć. Powrót do problemu:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (biały) (III) acolor (biały) (XXX) bcolor (biały) (XXX) acolor (biały) (XXX) b #

Zwróć uwagę, jak to jest zasadniczo # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

A teraz # cos ^ 2x-1 #? Cóż, wiemy # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Pomnóżmy to przez #-1# i zobacz co otrzymujemy:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

Okazało się, że # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, więc zastąpmy # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

To jest równoważne # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, który, używając jakiegoś trig, sprowadza się do # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

W tym momencie uprościliśmy integrację # int1 / (cosx-1) dx # do # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Używając reguły sum, staje się to:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

Pierwszy z nich to # cscx # (ponieważ pochodna # cscx # jest # -cotxcscx #), a drugi to # cotx # (ponieważ pochodna # cotx # jest # -csc ^ 2x #). Dodaj stałą integracji #DO# a masz swoje rozwiązanie:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Wartość liczby nikli i ćwiartek wynosi 3,25 USD. Gdyby liczba nikli została zwiększona o 3 i podwojono liczbę ćwiartek, wartość wyniósłaby 5,90 USD. Jak znaleźć liczbę każdego?

Jest 10 kwartałów i 15 nicków potrzebnych do zrobienia 3,25 $ i 5,90 $, biorąc pod uwagę zmiany zidentyfikowane w problemie. Miejmy liczbę ćwiartek równą „q” i liczbę nicków równą „n”. „Wartość liczby nicków i ćwiartek wynosi 3,25 $” można następnie zapisać jako: 0,05n + 0,25q = 3,25 To dlatego, że każdy nickle jest wart 5 centów, a każda ćwiartka jest warta 25 centów. Jeśli liczba nikli została zwiększona o 3, można zapisać jako n + 3, a „liczba ćwiartek została podwojona” można zapisać jako 2q, a drugie równanie można zapisać jako: (n + 3) 0,05 + 0,25 (2q) = 5,90 lub 0,05n + 0

Jak znaleźć pierwotną wartość (1-x) ^ 2?

(x-1) ^ 3/3 + c int (1-x) ^ 2dx = Zastępca 1-x = u -dx = du dx = -du intu ^ 2 (-du) = -intu ^ 2du = -int ( u ^ 3/3) 'du = -u ^ 3/3 + c = (x-1) ^ 3/3 + c, cinRR

Jak znaleźć pierwotną wartość cos ^ 4 (x) dx?

Chcesz rozdzielić go za pomocą tożsamości trygonalnych, aby uzyskać ładne, łatwe całki. cos ^ 4 (x) = cos ^ 2 (x) * cos ^ 2 (x) Możemy łatwo poradzić sobie z cos ^ 2 (x), zmieniając układ podwójnego kąta cosinusa. cos ^ 4 (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) * 1/2 (1 + cos (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2 cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2 cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x))) cos ^ 4 (x) = 3/8 + 1/2 * cos (2x) + 1/8 * cos (4x) Tak, int cos ^ 4 (x) dx = 3/8 * int dx + 1/2 * int cos (2x) dx + 1/8 * int cos (4x ) dx int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * sin (2x) + 1/32 * sin (4x) + C