Co równa się sqrt (3 + i) w postaci + bi?

Odpowiedź:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Przypuszczać # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Zrównując rzeczywiste i wyimaginowane części otrzymujemy:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Stąd #b = 1 / (2a) #, które możemy zastąpić pierwszym równaniem, aby uzyskać:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Pomnóż oba końce przez # 4a ^ 2 # uzyskać:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Więc:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Z formuły kwadratowej otrzymujemy:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Od #sqrt (10)> 3 #, Wybierz #+# znak, aby uzyskać wartości rzeczywiste #za#:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

gdzie #b# ma taki sam znak jak #za# od #b = 1 / (2a) #

Główny pierwiastek kwadratowy znajduje się w Q1 z #a, b> 0 #

To jest:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

W rzeczywistości, jeśli #c, d> 0 # wtedy możemy podobnie pokazać:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) ja#