Jakie są asymptoty i dziury, jeśli występują, f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1)?

Odpowiedź:

#f (x) # ma pionowy asymptot w # x = -1 #, dziura w # x = 1 # i pozioma asymptota # y = 0 #. Nie ma skośnych asymptot.

Wyjaśnienie:

#f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1) #

#color (biały) (f (x)) = kolor (czerwony) (anuluj (kolor (czarny) ((x-1)))) / (kolor (czerwony) (anuluj (kolor (czarny) ((x-1))))) (x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

#color (biały) (f (x)) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

z wykluczeniem #x! = - 1 #

Zauważ, że # x ^ 2 + 1> 0 # dla wszelkich rzeczywistych wartości # x #

Gdy # x = -1 # mianownik wynosi zero, a licznik jest niezerowy. Więc #f (x) # ma pionowy asymptot w # x = -1 #

Gdy # x = 1 # zarówno licznik, jak i mianownik wyrażenia definiującego dla #f (x) # są zerowe, ale uproszczone wyrażenie jest dobrze zdefiniowane i ciągłe na # x = 1 #. Więc jest dziura # x = 1 #.

Tak jak #x -> + - oo # mianownik uproszczonego wyrażenia # -> oo #, podczas gdy licznik jest stały #1#. Stąd funkcja ma tendencję #0# i ma poziomą asymptotę # y = 0 #

#f (x) # nie ma skośnych (a.k.a. skosów) asymptot. Aby funkcja wymierna miała asymptotę skośną, licznik musi mieć stopień dokładnie o jeden większy niż mianownik.

wykres {1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) -10, 10, -5, 5}