Pytanie # e8044

Odpowiedź:

#color (niebieski) (int (1 / (1 + łóżeczko x)) dx =) #

#color (niebieski) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

Wyjaśnienie:

Od podanego #int (1 / (1 + łóżeczko x)) dx #

Jeśli całka jest funkcją wymierną funkcji trygonometrycznych, podstawienie # z = tan (x / 2) #lub jego odpowiednik

#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # i #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # i

# dx = (2dz) / (1 + z ^ 2) #

Rozwiązanie:

#int (1 / (1 + łóżeczko x)) dx #

#int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx #

#int (sin x / (sin x + cos x)) dx #

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2dz) / (1 + z ^ 2)) #

Uproszczać

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2dz) / (1 + z ^ 2)) #

#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #

W tym momencie użyj częściowych frakcji, a następnie zintegruj

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz #

Najpierw wykonujemy częściowe ułamki

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2- 2z-1) #

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = ((Az + B) (z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) (z ^ 2 +1)) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Rozwiń prawą stronę równania

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# (Az ^ 3-2Az ^ 2-Az + Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + D) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Ustaw równania

# (0 * z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# ((A + C) * z ^ 3 + (- 2A + B + D) * z ^ 2 + (- A-2B + C) * z + (- B + D) * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Równania są

# A + C = 0 #

# -2A + B + D = 0 #

# -A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

Jednoczesne wyniki rozwiązania do

# A = 1 # i # B = 1 # i # C = -1 # i # D = 1 #

Możemy teraz zrobić integrację

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz = int ((z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (- z + 1) / (z ^ 2-2z-1)) dz = #

# 1/2 int (2z) / (z ^ 2 + 1) dz + int dz / (z ^ 2 + 1) -1 / 2int (2z-2) / (z ^ 2-2z-1) dz #

# = 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1) #

# = 1/2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #

Przywrócimy go do oryginalnej zmiennej # x # za pomocą # z = tan (x / 2) # dla ostatecznej odpowiedzi.

#color (niebieski) (int (1 / (1 + łóżeczko x)) dx =) #

#color (niebieski) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

gdzie # K = # stała integracji

Niech Bóg błogosławi … Mam nadzieję, że wyjaśnienie jest przydatne.