Czy ktoś może mi pomóc zrozumieć to równanie? (pisanie polarnego równania stożka)

Odpowiedź:

#r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Wyjaśnienie:

Stożkowy z ekscentrycznością # e = 4/5 # to elipsa.

Dla każdego punktu na krzywej odległość do punktu ogniskowego na odległość do matrycy jest # e = 4/5 #

Skup się na słupie? Jaki biegun? Załóżmy, że pytający oznacza skupienie się na początku.

Uogólnijmy ekscentryczność na #mi# i reżyserię do # x = k #.

Odległość punktu # (x, y) # na elipsie jest fokus

# sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

Odległość do reżyserki # x = k # jest # | x-k | #.

# e = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} / | x-k | #

# e ^ 2 = {x ^ 2 + y ^ 2} / (x-k) ^ 2 #

To nasza elipsa, nie ma żadnego szczególnego powodu, aby pracować w standardowej formie.

Zróbmy to polarnym, # r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 # i # x = r cos theta #

# e ^ 2 = r ^ 2 / (r cos theta -k) ^ 2 #

# e ^ 2 (r cos theta - k) ^ 2 = r ^ 2 #

# (e r cos theta - e k) ^ 2 - r ^ 2 = 0 #

# (r e cos theta + r - ek) (r e cos theta - r - ek) = 0 #

#r = {ek} / {e cos theta + 1} lub r = {ek} / {e cos theta - 1} #

Upuszczamy drugą formę, ponieważ nigdy nie mieliśmy negatywnych # r #.

Więc forma polarna dla elipsy z ekscentrycznością #mi# i directrix # x = k # jest

#r = {ek} / {e cos theta + 1} #

To wydaje się być tą formą, z której zacząłeś.

Podłączanie # e = 4/5, k = 3 #

#r = {12/5} / {4/5 cos theta + 1} #

Uproszczenie daje, #r = 12 / {4 cos theta + 5} #

To żaden z powyższych.