Pytanie # 92256

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Podziel to na dwie części, po pierwsze wewnętrzną:

# e ^ x #

Jest to dodatnie i rosnące dla wszystkich liczb rzeczywistych i wynosi od 0 do # oo # tak jak # x # idzie od # -oo # do # oo #

Mamy:

#arctan (u) #

Ma prawy poziomy asymptot w # y = pi / 2 #. Idę z # u = 0 rarr oo #, w # u = 0 # ta funkcja jest dodatnia i zwiększa się w tej domenie, przyjmuje wartość 0 w # u = 0 #, wartość # pi / 4 # w # u = 1 # i wartość # pi / 2 # w # u = oo #.

Punkty te są więc przyciągane # x = -oo, 0, oo # i kończymy na wykresie wyglądającym tak:

graph {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

Który jest pozytywną częścią # arctan # funkcja rozciąga się na całą rzeczywistą linię, a lewa wartość jest rozciągnięta do poziomej asymptoty w # y = 0 #.

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Domena jest # RR #

Symetria

Ani w odniesieniu do # x # oś ani w.r.t pochodzenie.

#arctan (e ^ (- x)) # nie upraszcza #arctan (e ^ x) #

ani do # -arctan (e ^ x) #

Przechwytuje

# x # przechwytuje: brak

Nie możemy dostać #y = 0 # bo to wymagałoby # e ^ x = 0 #

Ale # e ^ x # jest nigdy #0#, zbliża się tylko #0# tak jak # xrarr-oo #.

Więc, # yrarr0 # tak jak # xrarr-oo # i # x # oś os pozioma

asymptota po lewej stronie.

# y # przechwycić: # pi / 4 #

Gdy # x = 0 #, dostajemy #y = arctan (1) = pi / 4 #

Asymptoty:

Pionowo: brak

# arctan # jest pomiędzy # -pi / 2 # i # pi / 2 # z definicji, więc nigdy nie idzie # oo #

Poziomy:

Lewo: # y = 0 # Jak omówiono powyżej

Dobrze: # y = pi / 2 #

My to wiemy # thetararrpi / 2 # z #theta <pi / 2 #, dostajemy #tantheta rarr oo #

tak jak # xrarroo #, dostajemy # e ^ x rarroo #, więc # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Pierwsza pochodna

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # jest nigdy #0# i nigdy niezdefiniowane, więc nie ma żadnych liczb krytycznych.

Dla każdego # x # mamy #y '> 0 # więc funkcja rośnie # (- oo, oo) #

Nie ma ekstrema lokalnego.

Druga pochodna

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # nigdy nie jest niezdefiniowane i tak jest #0# w # x = 0 #

Znak #y '' #:

Na # (- oo, 0) #, dostajemy # e ^ (2x) <1 # więc #y ''> 0 # a wykres jest wklęsły

Na # (0, oo) #, dostajemy # e ^ (2x)> 1 # więc #y '' <0 # a wykres jest wklęsły

Wklęsłość zmienia się w # x = 0 #, więc punkt przegięcia jest:

# (0, pi / 4) #

Teraz naszkicuj wykres