Dlaczego nie możemy zintegrować x ^ x?

Odpowiedź:

Nie mamy dla niego reguły.

Wyjaśnienie:

W całkach mamy standardowe reguły. Reguła antyłańcuchowa, reguła przeciwdziałająca produktom, zasada przeciwdziałania mocom i tak dalej. Ale nie mamy takiej dla funkcji, która ma # x # zarówno w podstawie, jak i mocy. Możemy dobrze przyjąć pochodną, ale próba przyjęcia jej całki jest niemożliwa z powodu braku reguł, z którymi mogłaby pracować.

Jeśli otworzysz Kalkulator graficzny Desmos, możesz spróbować podłączyć

# int_0 ^ x a ^ ada #

i dobrze to wykreśli. Ale jeśli spróbujesz zastosować regułę przeciwdziałania potędze lub regułę przeciw wykładnikowi, aby narysować przeciwko niej wykres, zobaczysz, że zawodzi. Kiedy próbowałem go znaleźć (nad którym wciąż pracuję), moim pierwszym krokiem było usunięcie go z tego formularza i wykonanie następujących czynności:

# inte ^ (xln (x)) dx #

Zasadniczo pozwala to na lepsze wykorzystanie reguł rachunku różniczkowego. Ale nawet podczas korzystania z Integracji przez części nigdy nie pozbywasz się całki. W związku z tym nie otrzymujesz funkcji do jej określenia.

Ale jak zawsze w Math, eksperymentowanie jest zabawne.Więc idź i spróbuj, ale nie za długo ani za mocno, zostaniesz wessany do tej królikowej dziury.

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

#y = x ^ x # może być zintegrowany. Na przykład

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

Inną rzeczą jest mieć teraz dni, funkcję #f (x) # który reprezentuje w formie zamkniętej prymitywny dla # x ^ x # lub innymi słowy, takie

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Gdyby była to funkcja powszechnego użycia w problemach techniczno-naukowych, z pewnością wymyślilibyśmy zróżnicowaną nazwę i symbol do manipulowania nią. Podobnie jak funkcja Lamberta zdefiniowana jako

#W (x) = x e ^ x #

Odpowiedź:

Patrz poniżej.

Wyjaśnienie:

Jak wskazał Cesareo (nie mówiąc o tym), istnieją pewne niejasności w „nie możemy zintegrować”.

Funkcja #f (x) = x ^ x # jest ciągły # (0, oo) #

i dalej # 0, oo) # jeśli zrobimy #f (0) = 1 #, więc zróbmy to. Dlatego całka oznaczona

# int_a ^ b x ^ x dx # istnieje dla wszystkich # 0 <= a <= b #

Ponadto podstawowe twierdzenie o calulusie mówi nam, że funkcja # int_0 ^ x t ^ t dt # ma pochodną # x ^ x # dla #x> = 0 #

To, czego nie możemy zrobić, to wyrazić tę funkcję w miłej, skończonej, zamkniętej formie wyrażeń algebraicznych (lub nawet dobrze znanych funkcji transcendentalnych).

W matematyce jest wiele rzeczy, których nie można wyrazić, chyba że w formie umożliwiającej kolejne lepsze przybliżenia.

Na przykład:

Liczba, której kwadrat to #2# nie można wyrazić w postaci dziesiętnej lub ułamkowej, używając skończonego wyrażenia. Dajemy mu symbol # sqrt2 # i przybliż go do dowolnego pożądanego poziomu dokładności.

Stosunek obwodu do średnicy okręgu nie może być skończenie wyrażony za pomocą skończonej kombinacji algebraicznej liczb całkowitych, więc nadajemy mu nazwę, #Liczba Pi# i przybliż go do dowolnego pożądanego poziomu dokładności.

Rozwiązanie # x = cosx # może być również przybliżony do dowolnego pożądanego stopnia dokładności, ale nie może być skończenie wyrażony. Ta liczba jest (być może) za mało ważna, aby nadać jej nazwę.

Jak powiedział Cesareo, jeśli całka # x ^ x # miał wiele zastosowań, matematycy przyjęliby dla niego nazwę.

Jednak obliczenia nadal wymagają nieskończonego przybliżenia.