Czym jest lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2?

Odpowiedź:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Wyjaśnienie:

Pozwolić # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# lny = ln ((e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) #

# lny = lne ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - lnx ^ 2 #

# lny = 2xlne + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

# lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = oo #

# e ^ lny = e ^ oo #

# y = oo #

Odpowiedź:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. Zobacz sekcję wyjaśniającą poniżej.

Wyjaśnienie:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

Zauważ, że: # (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #

Teraz jak # xrarroo #, pierwszy współczynnik rośnie bez ograniczeń, podczas gdy drugi idzie do #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) #

# = oo #

Dalsze wyjaśnienia

Oto rozumowanie, które doprowadziło do powyższego rozwiązania.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 # ma formę początkową # (oo * 0) / oo #.

Jest to forma nieokreślona, ale nie możemy zastosować reguły l'Hospital w tej formie.

Możemy go przepisać jako # (e ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # aby uzyskać formularz # oo / oo # do którego moglibyśmy zastosować l'Hospital. Jednak nie chcę szczególnie brać pochodnej tego mianownika.

Odwołaj to #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Po to aby #lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

To właśnie motywuje przepisanie użyte powyżej.

# (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #.

Tak jak # x # wzrasta bez ograniczeń # e ^ x # znacznie szybciej niż nieskończoność # x ^ 3 # (szybciej niż jakakolwiek moc # x #).

Więc, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # wieje jeszcze szybciej.

Jeśli nie masz tego faktu, użyj reguły l'Hospitala, aby uzyskać

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #