Czy funkcja może być ciągła i nieróżnialna w danej domenie?

Odpowiedź:

Tak.

Wyjaśnienie:

Jednym z najbardziej uderzających przykładów jest funkcja Weierstrass, odkryta przez Karla Weierstrassa, którą zdefiniował w swojej oryginalnej pracy jako:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

gdzie # 0 <a <1 #, #b# jest dodatnią nieparzystą liczbą całkowitą i #ab> (3pi + 2) / 2 #

Jest to bardzo kolczasta funkcja, która jest ciągła wszędzie na linii Real, ale nigdzie różniczkowalna.

Odpowiedź:

Tak, jeśli ma „wygięty” punkt. Jednym z przykładów jest #f (x) = | x | # w # x_0 = 0 #

Wyjaśnienie:

Funkcja ciągła praktycznie oznacza rysowanie bez odrywania ołówka od papieru. Matematycznie oznacza to dla każdego # x_0 # wartości #f (x_0) # ponieważ zbliżają się do nich z nieskończenie małą # dx # od lewej i prawej strony muszą być równe:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

gdzie znak minus oznacza zbliżanie się od lewej strony, a znak plus oznacza zbliżanie się od prawej.

Różnicowalna funkcja praktycznie oznacza funkcję, która stale zmienia swoje nachylenie (NIE ze stałą prędkością). Dlatego funkcja, która nie jest różniczkowalna w danym punkcie, praktycznie oznacza, że gwałtownie zmienia nachylenie od lewej strony tego punktu w prawo.

Zobaczmy 2 funkcje.

#f (x) = x ^ 2 # w # x_0 = 2 #

Wykres

wykres {x ^ 2 -10, 10, -5,21, 5,21}

Wykres (powiększony)

wykres {x ^ 2 0,282, 3,7, 3,073, 4,783}

Od kiedy # x_0 = 2 # wykres można utworzyć bez zdejmowania ołówka z papieru, funkcja jest w tym momencie ciągła. Ponieważ w tym momencie nie jest wygięty, jest również różniczkowalny.

#g (x) = | x | # w # x_0 = 0 #

Wykres

wykres {absx -10, 10, -5,21, 5,21}

W # x_0 = 0 # funkcja jest ciągła, ponieważ można ją rysować bez wyjmowania ołówka z papieru. Ponieważ jednak w tym momencie się wygina, funkcja nie jest różniczkowalna.