Jakie jest równanie linii stycznej do f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x na x = sqrtpi?

Odpowiedź:

Równanie wynosi w przybliżeniu:

#y = 3,34x - 0,27 #

Wyjaśnienie:

Na początek musimy określić #f '(x) #, abyśmy wiedzieli, jakie jest nachylenie #f (x) # jest w dowolnym momencie, # x #.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

przy użyciu reguły produktu:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Są to standardowe instrumenty pochodne:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Tak więc nasza pochodna staje się:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Wstawianie podanego # x # wartość, nachylenie przy #sqrt (pi) # jest:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

To jest nachylenie naszej linii w punkcie # x = sqrt (pi) #. Następnie możemy określić punkt przecięcia y przez ustawienie:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Daje nam to nie uproszczone równanie dla naszej linii:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))))) x + b #

Rozwiązując dla b, otrzymujemy irytująco skomplikowaną formułę:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Więc nasza linia kończy się:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Jeśli faktycznie obliczymy, co oznaczają te irytująco duże współczynniki, otrzymamy przybliżoną linię:

#y = 3,34x - 0,27 #