Jak znaleźć pochodną ln (e ^ (4x) + 3x)? - Rachunek Różniczkowy 2024

Odpowiedź:

# (f (g (x))) '= (4e ^ (4x) +3) / (e ^ (4x) + 3x) #

Wyjaśnienie:

Możemy znaleźć pochodną tej funkcji za pomocą reguły łańcucha, która mówi:

#color (niebieski) ((f (g (x))) '= f' (g (x)) * g '(x)) #

Rozłóżmy daną funkcję na dwie funkcje #f (x) # i #g (x) # i znajdź ich pochodne w następujący sposób:

#g (x) = e ^ (4x) + 3x #

#f (x) = ln (x) #

Znajdźmy pochodną #g (x) #

Znając pochodną wykładniczą, która mówi:

# (e ^ (u (x))) '= (u (x))' * e ^ (u (x)) #

Więc, # (e ^ (4x)) '= (4x)' * e ^ (4x) = 4e ^ (4x) #

Następnie, #color (niebieski) (g '(x) = 4e ^ (4x) +3) #

Teraz znajdźmy #f '(x) #

#f '(x) = 1 / x #

Zgodnie z powyższą właściwością musimy znaleźć #f '(g (x)) # więc zastąpmy # x # przez #g (x) # w #f '(x) # mamy:

#f '(g (x)) = 1 / g (x) #

#color (niebieski) (f '(g (x)) = 1 / (e ^ (4x) + 3x)) #

W związku z tym, # (f (g (x))) '= (1 / (e ^ (4x) + 3x)) * (4e ^ (4x) +3) #

#color (niebieski) ((f (g (x))) '= (4e ^ (4x) +3) / (e ^ (4x) + 3x)) #

Czym jest pierwsza pochodna i druga pochodna 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(pierwsza pochodna)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(druga pochodna)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(pierwsza pochodna)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) ”(druga pochodna)”

Co to jest druga pochodna x / (x-1) i pierwsza pochodna 2 / x?

Pytanie 1 Jeśli f (x) = (g (x)) / (h (x)) to przez Regułę Iloczynu f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h '(x)) / ((g (x)) ^ 2) Więc jeśli f (x) = x / (x-1) to pierwsza pochodna f' (x) = ((1) (x-1) - (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2), a druga pochodna to f '' (x) = 2x ^ -3 Pytanie 2 Jeśli f (x) = 2 / x można to zapisać ponownie jako f (x) = 2x ^ -1 i używając standardowych procedur do przyjmowania pochodnej f '(x) = -2x ^ -2 lub, jeśli wolisz f' (x) = - 2 / x ^ 2

Czym jest pierwsza pochodna i druga pochodna x ^ 4 - 1?

F ^ '(x) = 4x ^ 3 f ^' '(x) = 12x ^ 2, aby znaleźć pierwszą pochodną, musimy po prostu użyć trzech reguł: 1. Reguła mocy d / dx x ^ n = nx ^ (n-1 ) 2. Reguła stała d / dx (c) = 0 (gdzie c jest liczbą całkowitą, a nie zmienną) 3. Reguła sumy i różnicy d / dx [f (x) + - g (x)] = [f ^ ' (x) + - g ^ '(x)] pierwsza pochodna powoduje: 4x ^ 3-0, co upraszcza do 4x ^ 3, aby znaleźć drugą pochodną, musimy wyprowadzić pierwszą pochodną, ponownie stosując regułę mocy, która powoduje : 12x ^ 3 możesz kontynuować, jeśli chcesz: trzecia pochodna = 36x ^ 2 czwarta pochodna = 72x piąta pochodna = 72 sz