Udowodnij, że moc jest polem?

Odpowiedź:

Zestaw mocy zbioru jest pierścieniem przemiennym pod naturalnymi operacjami unii i przecięcia, ale nie jest polem w ramach tych operacji, ponieważ brakuje mu elementów odwrotnych.

Wyjaśnienie:

Biorąc pod uwagę dowolny zestaw # S #, rozważ zestaw mocy # 2 ^ S # z # S #.

Ma to naturalne operacje związkowe # uu # który zachowuje się jak dodatek, z tożsamością # O / # i skrzyżowanie # nn # który zachowuje się jak mnożenie z tożsamością # S #.

Bardziej szczegółowo:

• # 2 ^ S # jest zamknięty # uu #

  Jeśli #A, B w 2 ^ S # następnie # A uu B w 2 ^ S #

• Jest tożsamość # O / in 2 ^ S # dla # uu #

  Jeśli #A w 2 ^ S # następnie # A uu O / = O / uu A = A #

• # uu # jest asocjacyjny

  Jeśli #A, B, C w 2 ^ S # następnie # A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # uu # jest przemienny

  Jeśli #A, B w 2 ^ S # następnie # A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # jest zamknięty # nn #

  Jeśli #A, B w 2 ^ S # następnie #A nn B w 2 ^ S #

• Jest tożsamość #S w 2 ^ S # dla # nn #

  Jeśli #A w 2 ^ S # następnie #A nn S = S nn A = A #

• # nn # jest asocjacyjny

  Jeśli #A, B, C w 2 ^ S # następnie #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # nn # jest przemienny

  Jeśli #A, B w 2 ^ S # następnie #A nn B = B nn A #

• # nn # jest po lewej i prawej stronie dystrybucji # uu #

  Jeśli #A, B w 2 ^ S # następnie #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  i # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Więc # 2 ^ S # spełnia wszystkie wymagane aksjomaty, aby być przemiennym pierścieniem z dodatkiem # uu # i mnożenie # nn #.

Jeśli #S = O / # następnie # 2 ^ S # ma jeden element, a mianowicie # O / #, więc nie ma wyraźnych addytywnych i multiplikatywnych tożsamości, a zatem nie jest polem.

W przeciwnym razie zwróć uwagę # S # nie ma odwrotności # uu # i # O / # nie ma odwrotności # nn #. Więc # 2 ^ S # nie tworzy pola z powodu braku elementów odwrotnych.