Co to jest int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Odpowiedź:

#= 1/4#

Wyjaśnienie:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Odpowiedź:

#1/4#

Wyjaśnienie:

Może to zrobić na wiele sposobów, oto dwa z nich. Pierwszym jest użycie podstawienia:

#color (czerwony) („Metoda 1”) #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Pozwolić #u = ln (x) oznacza du = (dx) / x #

Przekształcanie limitów:

#u = ln (x) oznacza u: 0 rarr 1 #

Całka staje się:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Jest to prostszy sposób, ale nie zawsze możesz dokonać zmiany. Alternatywą jest integracja według części.

#color (czerwony) („Metoda 2”) #

Użyj integracji według części:

Dla funkcji #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) oznacza u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) oznacza v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Grupowanie jak warunki:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#therefore int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Pracujemy jednak z określoną całką, więc stosując ograniczenia i usuwając stałą:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#impls int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #