Jak udowodnić grzech (90 ° -a) = cos (a)?

Odpowiedź:

Wolę geometryczny dowód. Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Jeśli szukasz rygorystycznego dowodu, przepraszam - nie jestem w tym dobry. Jestem pewien, że inny sokratejski współpracownik, taki jak George C., mógłby zrobić coś bardziej solidnego niż ja; Podam tylko wyjaśnienie, dlaczego ta tożsamość działa.

Spójrz na poniższy diagram:

Jest to ogólny trójkąt prawy, z # 90 ^ o # kąt wskazywany przez małe okienko i kąt ostry #za#. Znamy kąty w trójkącie prawym, a ogólnie trójkąt, do którego musimy dodać # 180 ^ o #, więc jeśli mamy kąt #90# i kąt #za#, nasz inny kąt musi być # 90-a #:

# (a) + (90-a) + (90) = 180 #

#180=180#

Widzimy, że kąty w naszym trójkącie rzeczywiście się uzupełniają #180#, więc jesteśmy na dobrej drodze.

Dodajmy teraz kilka zmiennych dla długości boku do naszego trójkąta.

Zmienna # s # oznacza przeciwprostokątną, # l # oznacza długość i # h # oznacza wysokość.

Możemy zacząć od soczystej części: dowód.

Zauważ, że # sina #, który jest zdefiniowany jako przeciwieństwo (# h #) podzielone przez przeciwprostokątną (# s #), równa się # h / s # na schemacie:

# sina = h / s #

Zauważ również, że cosinus kąta górnego, # 90-a #, równa się sąsiedniej stronie (# h #) podzielone przez przeciwprostokątną (# s #):

#cos (90-a) = h / s #

Więc jeśli # sina = h / s #, i #cos (90-a) = h / s #…

Następnie # sina # musi być równy #cos (90-a) #!

# sina = cos (90-a) #

I boom, dowód kompletny.

Odpowiedź:

grzech (90 - a) = cos a

Wyjaśnienie:

Innym sposobem jest zastosowanie tożsamości wyzwalającej:

sin (a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a

grzech (90 - a) = grzech 90.cos a - grzech a cos 90.

Ponieważ sin 90 = 1, a cos 90 = 0, dlatego

grzech (90 - a) = cos a