Udowodnij, że Łóżko 4x (grzech 5 x + grzech 3 x) = Łóżko x (grzech 5 x - grzech 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

#sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) #

Prawa strona:

#cot x (sin 5x - sin 3x) = łóżeczko x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

Lewa strona:

#cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = łóżeczko (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) #

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

Są równi #quad sqrt #

Odpowiedź:

Formuła współczynnika (tożsamości suma do produktu i produkt-suma)

Wyjaśnienie:

Na to pytanie możemy użyć Suma do produktu i Produkt na sumę tożsamości.

Jestem leniwy, więc oto zdjęcie tożsamości.

Powyższy wzór produkt-suma można wyprowadzić za pomocą tożsamości złożonych kątów.

Korzystanie z zamiany #alpha = a + b # i #beta = a - b #, możemy uzyskać następujące formuły produkt-suma.

Więc teraz, gdy już to załatwiliśmy, zastosujmy nasze formuły.

#cot (4x) (sin (5x) + sin (3x)) = cos (4x) / sin (4x) (2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) (2sin (4x) cos (x)) = 2 cos (4x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2 cos (4x) sin (x)) = łóżeczko (x) (sin (4x + x) - sin (4x - x)) = łóżeczko (x) (sin (5x) - sin (3x)) #

Alternatywnie można również zastosować formułę suma do produktu po prawej stronie:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) sin ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) (2 cos (4x) sin (x)) = 2 cos (4x) sin (x) = LHS. #

#CO BYŁO DO OKAZANIA#