Zacznijmy od funkcji bez # m #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Ta funkcja na pewno tak # x = 0 # jako root, ponieważ uwzględniliśmy to # x #.
Pozostałe korzenie są rozwiązaniami # x ^ 2-2x + 2 = 0 #, ale ta parabola nie ma korzeni. Oznacza to, że oryginalny wielomian ma tylko jeden korzeń.
Teraz wielomian #p (x) # o dziwnym stopniu zawsze ma co najmniej jedno rozwiązanie, ponieważ masz
#lim_ {x - infty} p (x) = - infty # i #lim_ {x
i #p (x) # jest ciągły, więc musi przekroczyć # x # osi w pewnym momencie.
Odpowiedź pochodzi z następujących dwóch wyników:
- Wielomian stopnia # n # ma dokładnie # n # złożone korzenie, ale najbardziej # n # prawdziwe korzenie
- Biorąc pod uwagę wykres #f (x) #, wykres #f (x) + k # ma ten sam kształt, ale jest przetłumaczony pionowo (w górę, jeśli #k> 0 #, w dół w przeciwnym razie).
Zaczynamy od # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, który ma tylko jedno prawdziwe korzenie (a więc dwa złożone korzenie) i przekształcamy je w # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, co oznacza, że tłumaczymy je w górę lub w dół, więc nie zmieniamy liczby rozwiązań.
Kilka przykładów:
Funkcja oryginalna: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
wykres {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Przetłumacz: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
wykres {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Przetłumacz w dół: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
wykres {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Jak widać, zawsze jest jeden root
Odpowiedź:
Zobacz poniżej
Wyjaśnienie:
Alternatywne, może bardziej eleganckie rozwiązanie:
pochodna twojego wielomianu jest # 3x ^ 2-4x + 2 #, która jest parabolą wklęsłą bez korzeni, a więc zawsze pozytywną. Więc, #fa# jest:
- Monotonicznie rośnie
- #lim_ {x na pm infty} f (x) = pm infty #
- # "deg" (f) = 3 #
Pierwsze dwa punkty pokazują to #fa# ma dokładnie jeden korzeń, a trzeci, że pozostałe dwa korzenie są złożone.
