Jak odróżnić f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) za pomocą reguły produktu?

Odpowiedź:

Najpierw korzystasz z reguły produkcji

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

Następnie użyj liniowości definicji pochodnych i pochodnych funkcji, aby je uzyskać

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #

Wyjaśnienie:

Reguła produktu obejmuje przyjmowanie pochodnej funkcji, która jest wielokrotnością dwóch (lub więcej) funkcji, w formie #f (x) = g (x) * h (x) #. Reguła produktu to

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

Zastosowanie go do naszej funkcji,

#f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) #

Mamy

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

Dodatkowo musimy użyć liniowości derywacji

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

Stosując to mamy

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (sinx)) #.

Musimy wykonać poszczególne pochodne tych funkcji, których używamy

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Teraz mamy

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

W tym momencie trochę się dogadujemy

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #