Jaka jest powierzchnia bryły utworzona przez obrót f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x w [1,3] wokół osi x?

Odpowiedź:

Określ znak, a następnie integruj według części. Obszar to:

# A = 39.6345 #

Wyjaśnienie:

Musisz wiedzieć, czy #f (x) # jest ujemna lub dodatnia #1,3#. W związku z tym:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Aby określić znak, drugi czynnik będzie dodatni, gdy:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Od # e ^ x> 0 # dla każdego #x in (-oo, + oo) # nierówność się nie zmienia:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Zatem funkcja jest dodatnia tylko wtedy, gdy x jest ujemne i odwrotnie. Ponieważ istnieje również # x # czynnik #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Gdy jeden czynnik jest dodatni, drugi jest ujemny, więc f (x) jest zawsze negatywne. Dlatego obszar:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Korzystanie z kalkulatora:

# A = 39.6345 #

Odpowiedź:

Powierzchnia = 11 336,8 jednostek kwadratowych

Wyjaśnienie:

dany #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

dla prostoty niech #f (x) = y #

i # y = xe ^ -x -xe ^ x #

pierwsza pochodna # y '# jest potrzebny do obliczenia powierzchni.

Powierzchnia # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

gdzie # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Powierzchnia # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Określ pierwszą pochodną # y '#:

Rozróżniać # y = x (e ^ -x - e ^ x) # przy użyciu pochodnej formuły produktu

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

po uproszczeniu i faktoringu, wynikiem jest

pierwsza pochodna # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Oblicz teraz obszar:

Powierzchnia = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Powierzchnia # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Powierzchnia

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

W przypadku tak skomplikowanych całek możemy użyć reguły Simpsona:

po to aby

Powierzchnia

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Powierzchnia = -11,336,804

wiąże się to z kierunkiem obrotu, tak że może występować ujemna powierzchnia lub dodatnia powierzchnia. Rozważmy tylko wartość dodatnią Powierzchnia = 11336,804 jednostek kwadratowych