Czym jest macierz ortogonalna? + Przykład

Odpowiedź:

Zasadniczo ortogonalny #n xx n # macierz reprezentuje kombinację rotacji i możliwego odbicia o pochodzeniu # n # przestrzeń wymiarowa.

Zachowuje odległości między punktami.

Wyjaśnienie:

Macierz ortogonalna to taka, której odwrotność jest równa jej transpozycji.

Typowy # 2 xx 2 # macierz ortogonalna byłaby:

#R_theta = ((cos theta, sin theta), (-sin theta, cos theta)) #

dla niektórych #theta w RR #

Wiersze ortogonalnej macierzy tworzą ortogonalny zbiór wektorów jednostkowych. Na przykład, # (cos theta, sin theta) # i # (- sin theta, cos theta) # są prostopadłe do siebie i długości #1#. Jeśli nazwiemy poprzedni wektor # vecA # a drugi wektor # vecB #, następnie:

#vecA cdot vecB = -sinthetacostheta + sinthetacostheta = 0 #

(stąd ortogonalny)

# || vecA || = sqrt (cos ^ 2theta + sin ^ 2theta) = 1 #

# || vecB || = sqrt ((- sintheta) ^ 2 + cos ^ 2theta) = 1 #

(stąd wektory jednostkowe)

Kolumny tworzą również ortogonalny zestaw wektorów jednostkowych.

Wyznacznikiem macierzy ortogonalnej zawsze będzie #+-1#. Jeśli to jest #+1# wtedy macierz nazywa się a specjalna macierz ortogonalna.