Czym jest GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Odpowiedź:

Największy wspólny dzielnik #2^32-2^24+2^16-2^8+1# i #2^8+1# jest #1#

Wyjaśnienie:

Zauważ, że:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

jest liczbą pierwszą - w rzeczywistości jedną z niewielu znanych liczb pierwszych Fermata.

Więc jedyne możliwe wspólne czynniki #2^8+1# i #2^32-2^24+2^16-2^8+1# są #1# i #257#.

Jednak, jak zauważyłeś w pytaniu:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

ma postać:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

Jeden czynnik # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # z #2^40+1# odpowiada prawdziwemu piątemu pierwiastkowi jedności i # (x + y) # nie jest automatycznie czynnikiem pozostałego kwartetu # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # których inne czynniki liniowe są nierealne.

Możemy ręcznie podzielić # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # przez # x + y # aby uzyskać resztę wielomianową, a następnie ją zastąpić # x = 2 ^ 8 # i # y = 1 # sprawdzić, czy to nie jest przypadek specjalny …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Reszta to:

# 5y ^ 4 = 5 (kolor (niebieski) (1)) ^ 4 = 5 #

Ponieważ reszta jest niezerowa, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# i #2^8+1# nie mają wspólnego czynnika większego niż #1#.