Jak znaleźć całkę int (ln (x)) ^ 2dx? - Rachunek Różniczkowy 2024

Naszym celem jest zmniejszenie mocy #ln x # aby całka była łatwiejsza do oceny.

Możemy to osiągnąć, używając integracji według części. Pamiętaj o formule IBP:

#int u dv = uv - int v du #

Teraz pozwolimy #u = (lnx) ^ 2 #, i #dv = dx #.

W związku z tym, #du = (2lnx) / x dx #

#v = x #.

Teraz, łącząc elementy, otrzymujemy:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Ta nowa integracja wygląda znacznie lepiej! Upraszczając nieco, a przynosząc stały front, uzyskuje:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Teraz, aby pozbyć się tej następnej całki, zrobimy drugą integrację przez części, pozwalając #u = ln x # i #dv = dx #.

A zatem, #du = 1 / x dx # i #v = x #.

Montaż daje nam:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Pozostało tylko uprościć, pamiętając o dodaniu stałej integracji:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

Mamy to. Pamiętaj, że integracja według części polega na wybieraniu # u # tak, że niechlujne rzeczy zostaną wyeliminowane z integrandu. W tym przypadku przywieźliśmy # (ln x) ^ 2 # aż do #ln x #, a następnie w dół # 1 / x #. W końcu trochę # x #zostało anulowane, a integracja stała się łatwiejsza.

Jak znaleźć całkę int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Używanie Integracji przez części, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Pamiętaj, że Integracja według części używa formuły: intu dv = uv - intv du Który jest oparty na regule produktu dla pochodnych: uv = vdu + udv Aby użyć tej formuły, musimy zdecydować, który termin będzie u, a który dv. Przydatnym sposobem na określenie, który termin idzie gdzie jest metoda ILATE. Odwrotne logarytmy Trig Algebra Trig Wykładnicze Daje ci kolejność priorytetów, która jest używana dla „u”, więc cokolwiek pozostanie, stanie się naszym dv. Nasza funkcja zawi

Jak znaleźć całkę int (x * cos (5x)) dx?

Będziemy pamiętać o formule integracji według części, która jest następująca: int u dv = uv - int v du Aby znaleźć tę całkę z powodzeniem, pozwolimy u = x, a dv = cos 5x dx. Dlatego du = dx i v = 1/5 sin 5x. (v można znaleźć przy użyciu szybkiego podstawienia u) Powodem, dla którego wybrałem x dla wartości u, jest to, że wiem, że później skończy się integracją v pomnożoną przez pochodną u. Ponieważ pochodna u wynosi tylko 1, a integracja samej funkcji trig nie czyni jej bardziej skomplikowaną, efektywnie usunęliśmy x z integrandu i musimy teraz martwić się o sinus. Tak więc, podłączając się do formuły IBP, o

Jak znaleźć całkę int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Ta całka będzie wymagać integracji przez części. Należy pamiętać o formule: int u dv = uv - int v du Dajmy u = x, a dv = e ^ (- x) dx. Dlatego du = dx. Znalezienie v będzie wymagało podstawienia u; Będę używał litery q zamiast u, ponieważ już używamy u w formule integracji według części. v = int e ^ (- x) dx let q = -x. zatem dq = -dx Przepiszemy całkę, dodając dwa negatywy, aby pomieścić dq: v = -int -e ^ (- x) dx Napisane w postaci q: v = -int e ^ (q) dq Dlatego v = -e ^ (q) Zastępowanie wstecz dla q daje nam: v = -e ^ (- x) Teraz, patrząc wste