Korzystanie z integracji według części,
# intx ^ 2sinpixdx #
#=#
# (- 1 / pi) x ^ 2kospiks + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Pamiętaj, że Integracja według części używa wzoru:
# intu # # dv # =#uv - intv # # du #
Który opiera się na zasadzie produktu dla pochodnych:
#uv = vdu + udv #
Aby użyć tej formuły, musimy zdecydować, który termin będzie
Odwrotny Trig
Logarytmy
Algebra
Wymuskany
Wykładnicze
Daje to kolejność priorytetów, dla których jest używany termin „
Mamy teraz:
#u = x ^ 2 # ,#dv = sinpix #
Następne elementy, których potrzebujemy w formule, to „
Pochodna jest uzyskiwana przy użyciu reguły mocy:
# d / dxx ^ 2 = 2x = du #
Dla całki możemy użyć podstawienia.
za pomocą
Mamy teraz:
#du = 2x dx # ,#v = # # (- 1 / pi) cospix #
Podłączając do naszego oryginalnego wzoru Integration by Parts, mamy:
# intu # # dv # =#uv - intv # # du #
#=#
# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2kompresja - (-1 / pi) int2xcospixdx #
Pozostaje nam jeszcze jedna integracja, którą musimy ponownie wykorzystać do integracji. Ciągnąc za
#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #
Ta ostatnia całka, którą możemy rozwiązać za pomocą ostatniej rundy zastępczej, daje nam:
# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #
Umieszczając wszystko, co znaleźliśmy razem, mamy teraz:
# (- 1 / pi) x ^ 2kompresja - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) kosix #
Teraz możemy uprościć negatywy i nawiasy, aby uzyskać ostateczną odpowiedź:
# intx ^ 2sinpixdx = #
# (- 1 / pi) x ^ 2kospiks + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
Kluczem jest zapamiętanie, że skończysz z łańcuchem wielu terminów dodawanych lub odejmowanych razem. Cały czas dzielisz całkę na mniejsze, łatwe do zarządzania części, które musisz śledzić w celu uzyskania ostatecznej odpowiedzi.
Jak znaleźć całkę int (ln (x)) ^ 2dx?
Naszym celem jest zmniejszenie mocy ln x, aby integralność była łatwiejsza do oceny. Możemy to osiągnąć, używając integracji według części. Pamiętaj o formule IBP: int u dv = uv - int v du Teraz pozwolimy u = (lnx) ^ 2 i dv = dx. Dlatego du = (2lnx) / x dx oraz v = x. Teraz, łącząc elementy, otrzymujemy: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Ta nowa całka wygląda o wiele lepiej! Uproszczenie nieco i sprowadzenie stałej z przodu, daje: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Aby pozbyć się tej następnej całki, zrobimy drugą integrację według części, pozwalając u = ln x i dv = dx. Zatem du = 1 / x dx
Jak znaleźć całkę int (x * cos (5x)) dx?
Będziemy pamiętać o formule integracji według części, która jest następująca: int u dv = uv - int v du Aby znaleźć tę całkę z powodzeniem, pozwolimy u = x, a dv = cos 5x dx. Dlatego du = dx i v = 1/5 sin 5x. (v można znaleźć przy użyciu szybkiego podstawienia u) Powodem, dla którego wybrałem x dla wartości u, jest to, że wiem, że później skończy się integracją v pomnożoną przez pochodną u. Ponieważ pochodna u wynosi tylko 1, a integracja samej funkcji trig nie czyni jej bardziej skomplikowaną, efektywnie usunęliśmy x z integrandu i musimy teraz martwić się o sinus. Tak więc, podłączając się do formuły IBP, o
Jak znaleźć całkę int (x * e ^ -x) dx?
Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Ta całka będzie wymagać integracji przez części. Należy pamiętać o formule: int u dv = uv - int v du Dajmy u = x, a dv = e ^ (- x) dx. Dlatego du = dx. Znalezienie v będzie wymagało podstawienia u; Będę używał litery q zamiast u, ponieważ już używamy u w formule integracji według części. v = int e ^ (- x) dx let q = -x. zatem dq = -dx Przepiszemy całkę, dodając dwa negatywy, aby pomieścić dq: v = -int -e ^ (- x) dx Napisane w postaci q: v = -int e ^ (q) dq Dlatego v = -e ^ (q) Zastępowanie wstecz dla q daje nam: v = -e ^ (- x) Teraz, patrząc wste