Jak znaleźć całkę int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Jak znaleźć całkę int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?
Anonim

Korzystanie z integracji według części,

# intx ^ 2sinpixdx #

#=#

# (- 1 / pi) x ^ 2kospiks + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Pamiętaj, że Integracja według części używa wzoru:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

Który opiera się na zasadzie produktu dla pochodnych:

#uv = vdu + udv #

Aby użyć tej formuły, musimy zdecydować, który termin będzie # u #, a które będą # dv #. Przydatny sposób, aby dowiedzieć się, który termin idzie gdzie jest SPÓŹNIŁEM SIĘ metoda.

Odwrotny Trig

Logarytmy

Algebra

Wymuskany

Wykładnicze

Daje to kolejność priorytetów, dla których jest używany termin „# u #„, więc wszystko, co pozostanie, staje się naszym # dv #. Nasza funkcja zawiera # x ^ 2 # i a # sinpix #, więc metoda ILATE nam to mówi # x ^ 2 # powinien być używany jako nasz # u #, ponieważ jest algebraiczny i wyższy na liście niż # sinpix #, który jest trig.

Mamy teraz:

#u = x ^ 2 #, #dv = sinpix #

Następne elementy, których potrzebujemy w formule, to „# du #" i "# v #„, które otrzymujemy przez znalezienie pochodnej”# u #„i integralna część”# dv #'.

Pochodna jest uzyskiwana przy użyciu reguły mocy:

# d / dxx ^ 2 = 2x = du #

Dla całki możemy użyć podstawienia.

za pomocą #w = pix #, skończymy z # (- 1 / pi) cosw #

Mamy teraz:

#du = 2x dx #, #v = ## (- 1 / pi) cospix #

Podłączając do naszego oryginalnego wzoru Integration by Parts, mamy:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

#=#

# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2kompresja - (-1 / pi) int2xcospixdx #

Pozostaje nam jeszcze jedna integracja, którą musimy ponownie wykorzystać do integracji. Ciągnąc za #2# poza całością pozostajemy #u = x #, #dv = cospix #. Przechodząc przez ten sam proces, otrzymujemy:

#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #

Ta ostatnia całka, którą możemy rozwiązać za pomocą ostatniej rundy zastępczej, daje nam:

# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #

Umieszczając wszystko, co znaleźliśmy razem, mamy teraz:

# (- 1 / pi) x ^ 2kompresja - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) kosix #

Teraz możemy uprościć negatywy i nawiasy, aby uzyskać ostateczną odpowiedź:

# intx ^ 2sinpixdx = #

# (- 1 / pi) x ^ 2kospiks + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Kluczem jest zapamiętanie, że skończysz z łańcuchem wielu terminów dodawanych lub odejmowanych razem. Cały czas dzielisz całkę na mniejsze, łatwe do zarządzania części, które musisz śledzić w celu uzyskania ostatecznej odpowiedzi.