Jak znaleźć całkę int (x * cos (5x)) dx? - Rachunek Różniczkowy 2024

Będziemy pamiętać o formule integracji według części, która jest:

#int u dv = uv - int v du #

Aby znaleźć tę integralną część, pozwolimy #u = x #, i #dv = cos 5x dx #. W związku z tym, #du = dx # i #v = 1/5 grzech 5x #. (# v # można znaleźć za pomocą szybkiego # u #-podstawienie)

Powód, dla którego wybrałem # x # dla wartości # u # to dlatego, że wiem, że później będę się integrował # v # pomnożone przez # u #pochodna. Od pochodnej # u # jest tylko #1#, a ponieważ samo zintegrowanie funkcji wyzwalającej nie czyni jej bardziej skomplikowaną, skutecznie usunęliśmy # x # z integrandu i teraz martw się tylko o sinus.

Podłączając do formuły IBP, otrzymujemy:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Ciągnięcie #1/5# poza integracją daje nam:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Integracja sinusa zajmie tylko # u #-podstawienie. Od kiedy już użyliśmy # u # dla wzoru IBP użyję litery # q # zamiast:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Dostać # 5 dx # wewnątrz całki pomnożę całkę przez inną #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

I, zastępując wszystko pod względem # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Wiemy, że całka #grzech# jest #-sałata#, więc możemy łatwo zakończyć tę integrację. Pamiętaj o stałej integracji:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Teraz po prostu zastąpimy go z powrotem # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

I jest nasza integralność.

Jak znaleźć całkę int (ln (x)) ^ 2dx?

Naszym celem jest zmniejszenie mocy ln x, aby integralność była łatwiejsza do oceny. Możemy to osiągnąć, używając integracji według części. Pamiętaj o formule IBP: int u dv = uv - int v du Teraz pozwolimy u = (lnx) ^ 2 i dv = dx. Dlatego du = (2lnx) / x dx oraz v = x. Teraz, łącząc elementy, otrzymujemy: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Ta nowa całka wygląda o wiele lepiej! Uproszczenie nieco i sprowadzenie stałej z przodu, daje: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Aby pozbyć się tej następnej całki, zrobimy drugą integrację według części, pozwalając u = ln x i dv = dx. Zatem du = 1 / x dx

Jak znaleźć całkę int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Używanie Integracji przez części, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Pamiętaj, że Integracja według części używa formuły: intu dv = uv - intv du Który jest oparty na regule produktu dla pochodnych: uv = vdu + udv Aby użyć tej formuły, musimy zdecydować, który termin będzie u, a który dv. Przydatnym sposobem na określenie, który termin idzie gdzie jest metoda ILATE. Odwrotne logarytmy Trig Algebra Trig Wykładnicze Daje ci kolejność priorytetów, która jest używana dla „u”, więc cokolwiek pozostanie, stanie się naszym dv. Nasza funkcja zawi

Jak znaleźć całkę int 1 / (1 + cos (x))?

-cotx + cscx + "C" int1 / (1 + cosx) dx = int (1-cosx) / ((1 + cosx) (1-cosx)) dx = int (1-cosx) / (1-cos ^ 2x ) dx = int (1-cosx) / sin ^ 2xdx = int 1 / sin ^ 2xdx-intcosx / sin ^ 2xdx = int csc ^ 2xdx-intcotxcscxdx = -cotx + cscx + "C"