Która dwucyfrowa liczba jest równa kwadratowi sumy?

Odpowiedź:

#81#

Wyjaśnienie:

Jeśli jest cyfra dziesiątek #za# i cyfra jednostek #b#, następnie #a, b # musi spełniać:

# 10a + b = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Odejmowanie # 10a + b # z obu końców staje się to:

# 0 = a ^ 2 + 2 (b-5) a + b (b-1) #

#color (biały) (0) = a ^ 2 + 2 (b-5) + (b-5) ^ 2 + (b (b-1) - (b-5) ^ 2) #

#color (biały) (0) = (a + (b-5)) ^ 2+ (b ^ 2-b-b ^ 2 + 10b-25)) #

#color (biały) (0) = (a + (b-5)) ^ 2- (25-9b) #

Więc:

# a + b-5 = + -sqrt (25-9b) #

W celu # 25-9b # aby być idealnym kwadratem, potrzebujemy # b = 1 #.

Następnie:

# a + b-5 = + -sqrt (25-9) = + -sqrt (16) = + -4 #

Więc:

#a = 5-b + -4 = 4 + -4 #

Więc jedyna niezerowa wartość dla #za# jest # a = 8 #.

Znaleźliśmy:

#81 = 9^2 = (8+1)^2' '# jako wymagane.

Alternatywnie moglibyśmy po prostu sprawdzić kilka pierwszych liczb kwadratowych i sprawdzić:

#16 = 4^2 != (1+6)^2#

#25 = 5^2 != (2+5)^2#

#36 = 6^2 != (3+6)^2#

#49 = 7^2 != (4+9)^2#

#64 = 8^2 != (6+4)^2#

#81 = 9^2 = (8+1)^2' '# Tak.