Jakie są asymptoty i usuwalne nieciągłości f (x) = (4 (x + 2) (x-1)) / (3 (x + 2) (x-5)?

Odpowiedź:

# "pionowa asymptota przy" x = 5 #

# "pozioma asymptota przy" y = 4/3 #

# „usuwalna nieciągłość w” (-2,4 / 7) #

Wyjaśnienie:

# ”upraszcza f (x), anulując wspólne czynniki” #

#f (x) = (4cancel ((x + 2)) (x-1)) / (3cancel ((x + 2)) (x-5)) = (4 (x-1)) / (3 (x-5)) #

Ponieważ usunęliśmy czynnik (x + 2), będzie występować usuwalna nieciągłość przy x = - 2 (otwór)

#f (-2) = (4 (-3)) / (3 (-7)) = (- 12) / (- 21) = 4/7 #

#rArr "punktowa nieciągłość przy" (-2,4 / 7) #

Wykres #f (x) = (4 (x-1)) / (3 (x-5)) „będzie takie samo jak” #

# (4 (x + 2) (x-1)) / (3 (x + 2) (x-5)) „ale bez dziury” #

Mianownik f (x) nie może wynosić zero, ponieważ spowodowałoby to niezdefiniowanie f (x). Zrównanie mianownika do zera i rozwiązanie daje wartość, której nie może być x, a jeśli licznik jest niezerowy dla tej wartości, to jest asymptotą pionową.

# „rozwiązać” 3 (x-5) = 0rArrx = 5 „to asymptota” #

Asymptoty poziome występują jako

#lim_ (xto + -oo), f (x) toc "(stała)" #

podziel terminy na licznik / mianownik x

#f (x) = ((4x) / x-4 / x) / ((3x) / x-15 / x) = (4-4 / x) / (3-15 / x) #

tak jak # xto + -oo, f (x) do (4-0) / (3-0 #

# rArry = 4/3 "to asymptote" #

graph {(4x-4) / (3x-15) -16.02, 16.01, -8.01, 8.01}