Ciało znaleziono o godzinie 10 w magazynie, w którym temperatura wynosiła 40 ° F. Lekarz sądowy stwierdził, że temperatura ciała wynosi 80 ° F. Jaki był przybliżony czas śmierci?

Odpowiedź:

Przybliżony czas śmierci jest #8:02:24# rano.

Należy pamiętać, że jest to temperatura skóry ciała. Lekarz sądowy mierzyłby temperaturę wewnętrzną, która zmniejszałaby się znacznie wolniej.

Wyjaśnienie:

Prawo chłodzenia Newtona stwierdza, że szybkość zmiany temperatury jest proporcjonalna do różnicy w stosunku do temperatury otoczenia. To znaczy

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

Jeśli #T> T_0 # następnie ciało powinno ostygnąć, więc pochodna powinna być ujemna, dlatego wstawiamy stałą proporcjonalności i dochodzimy do

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Pomnożenie wspornika i przesunięcie rzeczy o nas:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Może teraz używać metody współczynnika integracji do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Pomnóż obie strony przez #I (x) # zdobyć

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Zauważ, że za pomocą reguły produktu możemy przepisać LHS, pozostawiając:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Zintegruj obie strony # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Podzielić przez # e ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Średnia temperatura ciała ludzkiego wynosi # 98,6 ° „F” #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implikuje C = 58,6 #

Pozwolić # t_f # bądź czasem, w którym znaleziono ciało.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58,6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58,6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / (0,1947) #

#t_f = 1,96 hr #

Tak więc od czasu śmierci, zakładając, że ciało natychmiast zaczęło się ochładzać, osiągnięcie 80 ° F zajęło 1,96 godziny, kiedy to zostało znalezione.

# 1.96hr = 117,6 min #

Przybliżony czas śmierci jest #8:02:24# rano