Udowodnij: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Udowodnić # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Pozwolić # cos ^ -1x = theta #

# => x = costheta #

Teraz # LHS = 3theta #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Pokazać

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Czasami trig jest mniej związany z matematyką, a więcej z rozpoznawaniem matematyki, gdy ją widzimy. Tutaj rozpoznajemy # 4x ^ 3 -3x # jako kosinusowy wzór potrójnego kąta, # cos (3 theta) # gdy # x = cos theta #.

Faktoid: # 4x ^ 3-3x # nazywany jest również # T_3 (x) #, trzeci wielomian Czebyszewa pierwszego rodzaju. Ogólnie, # cos (nx) = T_n (cos x).

Zakładamy # arccos # odnosi się do wartości głównej. Wolę zadzwonić do dyrektora #text {Arc} tekst {cos} # ale to trudniej pisać.

Dość tła. Po rozpoznaniu formuły potrójnego kąta dowód jest łatwy.

Dowód:

Pozwolić #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #