Dowód, że N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) jest liczbą całkowitą?

Odpowiedź:

Rozważać # t ^ 3-21t-90 = 0 #

To ma jeden prawdziwy korzeń, który jest #6# znany jako. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Wyjaśnienie:

Rozważmy równanie:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Wykorzystaj metodę Cardano do rozwiązania tego problemu #t = u + v #

Następnie:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Aby wyeliminować termin # (u + v) #, dodaj ograniczenie # uv = 7 #

Następnie:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Pomnóż przez # u ^ 3 # i przestawiaj, aby uzyskać kwadrat # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

dzięki formule kwadratowej ma to korzenie:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (biały) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (biały) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (biały) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Ponieważ jest to Real, a pochodna była symetryczna # u # i # v #, możemy użyć jednego z tych korzeni # u ^ 3 # a drugi dla # v ^ 3 # wywnioskować, że Real zero # t ^ 3-21t-90 # jest:

# t_1 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

ale znajdziemy:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Więc Real zero # t ^ 3-21t-90 # jest #6#

Więc # 6 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

#kolor biały)()#

Notatka

Aby znaleźć równanie sześcienne, użyłem metody Cardano wstecz.

Odpowiedź:

#N = 6 #

Wyjaśnienie:

Zrobienie #x = 45 + 29 sqrt (2) # i #y = 45-29 sqrt (2) # następnie

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

więc

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

lub dzwoniąc #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # mamy

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

z # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # i #z = 6 # jest rootem

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #

Jaka jest liczba rzeczywista, liczba całkowita, liczba całkowita, liczba wymierna i liczba niewymierna?

Wyjaśnienie Poniżej Liczby wymierne występują w 3 różnych formach; liczby całkowite, ułamki i kończące lub powtarzające się dziesiętne, takie jak 1/3. Liczby irracjonalne są dość „bałaganiarskie”. Nie mogą być zapisywane jako ułamki, są niekończące się, nie powtarzające się dziesiętne. Przykładem tego jest wartość π. Liczbę całkowitą można nazwać liczbą całkowitą i jest liczbą dodatnią lub ujemną albo zerem. Przykładem tego jest 0, 1 i -365.

Czy liczba rzeczywista sqrt21, liczba wymierna, liczba całkowita, liczba całkowita, liczba irracyjna?

Jest to liczba irracjonalna, a zatem prawdziwa. Najpierw udowodnijmy, że sqrt (21) jest liczbą rzeczywistą, w rzeczywistości pierwiastek kwadratowy wszystkich pozytywnych liczb rzeczywistych jest rzeczywisty. Jeśli x jest liczbą rzeczywistą, to definiujemy dla liczb dodatnich sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x}. Oznacza to, że patrzymy na wszystkie rzeczywiste liczby y takie, że y ^ 2 <= x i przyjmujemy najmniejszą liczbę rzeczywistą, która jest większa niż wszystkie te y, tzw. Supremum. W przypadku liczb ujemnych te y nie istnieją, ponieważ dla wszystkich liczb rzeczywistych przyjmowanie kwadratu tej

Udowodnij pośrednio, jeśli n ^ 2 jest liczbą nieparzystą, a n jest liczbą całkowitą, to n jest liczbą nieparzystą?

Dowód przez sprzeczność - patrz poniżej Mówi się nam, że n ^ 2 jest liczbą nieparzystą, a n w ZZ:. n ^ 2 w ZZ Załóżmy, że n ^ 2 jest nieparzyste, a n jest parzyste. Więc n = 2k dla niektórych k ZZ i n ^ 2 = nxxn = 2kxx2k = 2 (2k ^ 2), która jest parzystą liczbą całkowitą:. n ^ 2 jest równe, co przeczy naszemu założeniu. Dlatego musimy dojść do wniosku, że jeśli n ^ 2 jest nieparzyste, n musi być również dziwne.