Czy liczba rzeczywista sqrt21, liczba wymierna, liczba całkowita, liczba całkowita, liczba irracyjna?

Odpowiedź:

Jest to liczba irracjonalna, a zatem prawdziwa.

Wyjaśnienie:

Najpierw to udowodnij #sqrt (21) # jest liczbą rzeczywistą, w rzeczywistości pierwiastek kwadratowy wszystkich pozytywnych liczb rzeczywistych jest rzeczywisty. Jeśli # x # jest liczbą rzeczywistą, a następnie definiujemy liczby dodatnie #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Oznacza to, że patrzymy na wszystkie liczby rzeczywiste # y # takie # y ^ 2 <= x # i weź najmniejszą liczbę rzeczywistą, która jest większa niż wszystkie te # y #jest tak zwanym supremum. Dla liczb ujemnych te # y #nie istnieje, ponieważ dla wszystkich liczb rzeczywistych, przyjmowanie kwadratu tej liczby daje liczbę dodatnią, a wszystkie liczby dodatnie są większe niż liczby ujemne.

Dla wszystkich liczb dodatnich zawsze jest ich kilka # y # to pasuje do stanu # y ^ 2 <= x #, a mianowicie #0#. Ponadto istnieje górna granica tych liczb, a mianowicie # x + 1 #, od kiedy # 0 <= y <1 #, następnie # x + 1> y #, Jeśli #y> = 1 #, następnie #y <= y ^ 2 <= x #, więc # x + 1> y #. Możemy pokazać, że dla każdego ograniczonego niepustego zestawu liczb rzeczywistych zawsze istnieje unikalna liczba rzeczywista, która działa jak supremum, z powodu tak zwanej kompletności # RR #. Tak więc dla wszystkich pozytywnych liczb rzeczywistych # x # jest prawdziwy #sqrt (x) #. Możemy również pokazać to w tym przypadku #sqrt (x) ^ 2 = x #, ale jeśli nie chcesz, nie udowodnię tego tutaj. Na koniec zauważamy to #sqrt (x)> = 0 #, od #0# to liczba, która pasuje do warunku, jak wspomniano wcześniej.

Teraz za irracjonalność #sqrt (21) #. Gdyby nie było irracjonalne (tak racjonalne), moglibyśmy napisać to jako #sqrt (21) = a / b # z #za# i #b# liczby całkowite i # a / b # uproszczone tak bardzo, jak to możliwe, co oznacza #za# i #b# nie mają wspólnego dzielnika, z wyjątkiem #1#. Teraz to znaczy # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Teraz używamy czegoś, co nazywa się pierwotnym rozkładem liczb naturalnych. Oznacza to, że możemy zapisać każdą dodatnią liczbę całkowitą jako unikalny produkt liczb pierwszych. Dla #21# to jest #3*7# i dla #za# i #b# to jest jakiś arbitralny produkt liczb pierwszych # a = a_1 * … * a_n # i # b = b_1 * … * b_m #. Fakt, że jedyny wspólny dzielnik #za# i #b# jest #1# jest równoznaczne z tym, że #za# i #b# nie dziel się liczbami pierwszymi w ich rozkładzie, więc są # a_i # i # b_j # takie # a_i = b_j #. To znaczy że # a ^ 2 # i # b ^ 2 # nie dzielę też żadnych liczb pierwszych, ponieważ # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # i # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., zatem jedyny wspólny dzielnik # a ^ 2 # i # b ^ 2 # jest #1#. Od # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, to znaczy # b ^ 2 = 1 #, więc # b = 1 #. W związku z tym #sqrt (21) = a #. Zauważ, że to działa tylko przy założeniu, że #sqrt (21) # jest racjonalny.

Teraz moglibyśmy oczywiście przejść wszystkie liczby dodatnie mniejsze niż #21# i sprawdź, czy ich kwadratura daje #21#, ale to nudna metoda. Aby zrobić to w bardziej interesujący sposób, ponownie zwracamy się do naszych liczb pierwszych. Wiemy to # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # i #21=3*7#, więc # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. Po lewej stronie każda liczba pierwsza występuje tylko raz, po prawej stronie, każda liczba pierwsza występuje co najmniej dwa razy, a zawsze równa ilość razy (jeśli # a_1 = a_n # na przykład wystąpiłoby co najmniej cztery razy). Ale, jak już powiedzieliśmy, te pierwsze faktoryzacje są unikalne, więc nie może być to właściwe. W związku z tym # 21nea ^ 2 #, więc #anesqrt (21) #, co oznacza, że nasze wcześniejsze założenie #sqrt (21) # racjonalność okazuje się zatem błędna #sqrt (21) # jest irracjonalne.

Zauważ, że ten sam argument dotyczy każdej dodatniej liczby całkowitej # x # z rozkładem podstawowym, w którym jedna z liczb pierwszych pojawia się nierówna liczba razy, ponieważ kwadrat liczby całkowitej zawsze ma wszystkie czynniki pierwsze pojawiające się parzystą ilość razy. Z tego dochodzimy do wniosku, że jeśli # x # jest dodatnią liczbą całkowitą (#x inNN #) ma pierwszorzędny czynnik, który występuje tylko nierówna ilość razy, #sqrt (x) # będzie irracjonalny.

Jestem świadomy, że ten dowód może wydawać się nieco długi, ale wykorzystuje ważne pojęcia z matematyki. Prawdopodobnie w jakimkolwiek programie nauczania w szkołach średnich tego rodzaju rozumowanie nie jest uwzględniane (nie jestem w 100% pewien, nie znam programu nauczania w każdym liceum na świecie), ale dla prawdziwych matematyków udowodnienie tego jest jednym z najważniejsze czynności, które wykonują. Dlatego chciałem ci pokazać, jaka matematyka stoi za pierwiastkiem kwadratowym rzeczy. To, co musisz od tego zabrać, jest rzeczywiście #sqrt (21) # to liczba niewymierna.

Dwudziestym terminem szeregu arytmetycznego jest log20, a 32. to log32. Dokładnie jeden termin w sekwencji jest liczbą wymierną. Jaka jest liczba wymierna?

Dziesiąty termin to log10, który jest równy 1. Jeśli dwudziestym terminem jest log 20, a 32 termin to log32, oznacza to, że dziesiąty termin to log10. Log10 = 1. 1 to liczba wymierna. Gdy dziennik jest zapisywany bez „bazy” (indeks po logu), sugerowana jest podstawa 10. Jest to znane jako „wspólny dziennik”. Baza logów 10 z 10 równa się 1, ponieważ 10 do pierwszej mocy to jeden. Pomocną rzeczą do zapamiętania jest „odpowiedź na dziennik jest wykładnikiem”. Liczba wymierna to liczba, która może być wyrażona jako racja lub ułamek. Zwróć uwagę na słowo RATIO w RATIOnal. Jeden można wyrazić j

Jaka jest liczba rzeczywista i czy możesz wyjaśnić, dlaczego nierówność x <2 lub x> 1 ma każdą liczbę rzeczywistą jako rozwiązanie?

Zajmijmy się najpierw drugą częścią: jakie wartości x należy uwzględnić, jeśli x <2 lub x> 1? Rozważ dwa przypadki: Przypadek 1: x <2 x musi być uwzględniony Przypadek 2: x> = 2, jeśli x> = 2, a następnie x> 1, a zatem musi być uwzględniony Należy zauważyć, że wyniki byłyby zupełnie inne, gdyby warunek był x <2 i x> 1 Jednym ze sposobów myślenia o liczbach rzeczywistych jest myślenie o nich jako odległościach, porównywalnych miarach długości. Liczby można traktować jako zbiór zbiorów: liczby naturalne (lub liczby zliczające): 1, 2, 3, 4, ... Liczby naturalne i liczby całkowite ze

Jaka jest liczba rzeczywista, liczba całkowita, liczba całkowita, liczba wymierna i liczba niewymierna?

Wyjaśnienie Poniżej Liczby wymierne występują w 3 różnych formach; liczby całkowite, ułamki i kończące lub powtarzające się dziesiętne, takie jak 1/3. Liczby irracjonalne są dość „bałaganiarskie”. Nie mogą być zapisywane jako ułamki, są niekończące się, nie powtarzające się dziesiętne. Przykładem tego jest wartość π. Liczbę całkowitą można nazwać liczbą całkowitą i jest liczbą dodatnią lub ujemną albo zerem. Przykładem tego jest 0, 1 i -365.