Jak napisać wielomian z funkcją o minimalnym stopniu w standardowej postaci z rzeczywistymi współczynnikami, których zera obejmują -3,4 i 2-i?

Odpowiedź:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) # z #aq w RR #.

Wyjaśnienie:

Pozwolić # P # bądź wielomianem, o którym mówisz. Zakładam #P! = 0 # lub byłoby trywialne.

P ma rzeczywiste współczynniki, więc #P (alfa) = 0 => P (baralpha) = 0 #. Oznacza to, że istnieje inny root dla P, #bar (2-i) = 2 + i #, stąd ten formularz dla # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # z #a_j w NN #, #Q w RR X # i #a w RR # ponieważ chcemy # P # mieć rzeczywiste współczynniki.

Chcemy stopnia # P # być jak najmniejszym. Jeśli #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # następnie #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = suma (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # więc #deg (Q)> = 0 #. Jeśli chcemy # P # aby mieć możliwie najmniejszy stopień #deg (Q) = 0 # (# P # to tylko liczba rzeczywista # q #), stąd #deg (P) = deg (R) # i tutaj możemy to nawet powiedzieć #P = R #. #deg (P) # będzie tak mały, jak to możliwe, jeśli każdy #a_j = 0 #. Więc #deg (P) = 4 #.

Więc na razie #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. Rozwińmy to.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) w RR X #. Więc to wyrażenie jest najlepsze # P # możemy znaleźć te warunki!

Jak napisać funkcję wielomianową o najmniejszym stopniu ze współczynnikami całkowitymi, które mają podane zera 5, -1, 0?

Wielomian jest iloczynem (x-zer): x ^ 3-4x ^ 2-5 ^ x Więc twój polimom to (x-5) (x + 1) (x-0) = x ^ 3-4x ^ 2 -5x lub wielokrotność tego.

Jak napisać funkcję wielomianową o najmniejszym stopniu, która ma rzeczywiste współczynniki, następujące podane zera -5,2, -2 i współczynnik wiodący 1?

Wymagany wielomian to P (x) = x ^ 3 + 5x ^ 2-4x-20. Wiemy, że: jeśli a jest zerem wielomianu rzeczywistego w x (powiedzmy), to x-a jest współczynnikiem wielomianu. Niech P (x) będzie wymaganym wielomianem. Tutaj -5,2, -2 są zerami wymaganego wielomianu. implikuje, że {x - (- 5)}, (x-2) i {x - (- 2)} są czynnikami wymaganego wielomianu. implikuje P (x) = (x + 5) (x-2) (x + 2) = (x + 5) (x ^ 2-4) implikuje P (x) = x ^ 3 + 5x ^ 2-4x- 20 Stąd wymagany wielomian to P (x) = x ^ 3 + 5x ^ 2-4x-20

Jak napisać funkcję wielomianową o najmniejszym stopniu ze współczynnikami całkowitymi o podanych zerach 3, 2, -1?

Y = (x-3) (x-2) (x + 1) Również y = x ^ 3-4x ^ 2 + x + 6 Z podanych zer 3, 2, -1 Ustawiamy równania x = 3 i x = 2 i x = -1. Użyj tych wszystkich jako współczynników równych zmiennej y. Niech czynniki będą x-3 = 0 i x-2 = 0 i x + 1 = 0 y = (x-3) (x-2) (x + 1) Rozszerzenie y = (x ^ 2-5x + 6) (x + 1) y = (x ^ 3-5x ^ 2 + 6x + x ^ 2-5x + 6) y = x ^ 3-4x ^ 2 + x + 6 Prosimy zobaczyć wykres y = x ^ 3- 4x ^ 2 + x + 6 z zerami w x = 3 i x = 2 i x = -1 Niech Bóg błogosławi .... Mam nadzieję, że wyjaśnienie jest przydatne.